Questão 1

IME 2007

Física

(IME - 2007) A figura abaixo ilustra um pequeno bloco e uma mola sobre uma mesa retangular de largura d, vista de cima. A mesa é constituída por dois materiais diferentes, um sem atrito e o outro com coeficiente de atrito cinético µ igual a 0,5. A mola tem uma de suas extremidades fixada no ponto A e a outra no bloco. A mola está inicialmente comprimida de 4 cm, sendo liberada para que o bloco oscile na região sem atrito na direção y. Depois de várias oscilações, ao passar pela posição na qual tem máxima velocidade, o bloco é atingido por uma bolinha que se move com velocidade de m/s² na direção x e se aloja nele. O sistema é imediatamente liberado da mola e se desloca na parte áspera da mesa. Determine:

a) o vetor quantidade de movimento do sistema bloco + bolinha no instante em que ele é liberado da mola;

b) a menor largura e o menor comprimento da mesa para que o sistema pare antes de cair.

Dados: comprimento da mole = 25 cm;

constante elástica da mola = 10 N/cm;

massa da bolinha = 0,2 kg;

massa do bloco = 0,4 kg;

aceleração da gravidade = 10 m/s²

Gabarito:

Resolução:

a) A energia elástica da mola é convertida completamente em energia cinética para o bloco, assim:

$frac{kx^2}{2} = frac{mv^2}{2} Rightarrow frac{(10cdot 10^2)(4cdot 10^{-2})^2}{2} = frac{0,4v^2}{2} herefore v = pm 2m/s$

No choque entre a bola e o bloco, a quantidade de movimento do sistema se conserva. Portanto, a quantidade de movimento inicial é igual à final para ambos os eixos, pois não há impulso externo. Assumindo os versores i e j como respectivos ao eixo x e y conforme a figura, temos que:

- eixo x:

$Q_{xf} = Q_{xi} Rightarrow m_{bol}v_{xbol} = 0,2cdot 2i = 0,4 i ;kg.m/s$

- eixo y:

$Q_{yf} = Q_{yi} Rightarrow m_{bloco}v_{ybloco} = 0,4cdot pm 2j= pm 0,8 j ;kg.m/s$

Então:

$Q_f=Q_{xf}+Q_{yf} = (0,4i pm 0,8 j)kg.m/s$

b) Após o choque:

$v_{0x} = frac{Q_x}{m_{total}} = frac{0,4}{0,6} = frac{2}{3}\v_{0y} = pm frac{0,8}{0,6} = frac{pm 4}{3} v = sqrt((frac{2}{3})^2pm (frac{4}{3})^2) = frac{2sqrt 5}{3} m/s$

A aceleração é dada pela força resultante deviao ao atrito:

$F_{at} = mu mg = 0,5(m_{tot} 10) = 5m_{tot}\ m_{tot}a = 5m_{tot} herefore a = 5m/s^2$

Por Torricelli:

$v^2 = v_0^2-2aDelta S Rightarrow 0 = frac{20}{9}-2cdot 5 Delta S\ herefore Delta S = frac{2}{9} m$

Os deslocamentos nos eixos formam um ângulo $heta$ com o eixo x. Portanto:

$cos heta = frac{v_{0x}}{v} = frac{frac{2}{3}}{frac{2sqrt 5}{3}} = frac{1}{sqrt 5}$

Como a trajetória segue em linha reta em movimento uniformamente acelerado, temos:

$cos heta = frac{1}{sqrt 5} = frac{Delta x}{Delta S} Rightarrow Delta x = frac{2sqrt 5}{45}m$

Ainda,

$2Delta x = Delta y ;porque 2v_{0x}=v_{0y}$

$Delta y = frac{4sqrt 5}{45}$

Então após o choque o deslocamento em x é

$frac{2 sqrt 5}{45}$

De modo que a partir da figura do enunciado, o d mínimo pode ser calculado a partir de

$frac{d}{2} = frac{2sqrt 5}{45} Rightarrow d = frac{4sqrt 5}{45}$

O comprimento da mola não distendida é 0,25 m. Portanto, a partir da posição de compressão nula, o sistema se desloca

$Delta y = (0,25 pm frac{4sqrt 5}{45})m$

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