Questão 5

IME 2007

Física

(IME - 2007) A figura abaixo mostra uma caixa d'água vazia, com peso de 125 kgf, sustentada por um cabo inextensível e de massa desprezível, fixado nos pontos A e D. A partir de um certo instante, a caixa d'água começa a ser enchida com uma vazão constante de . 500 A roldana em L/h B possui atrito desprezível. Sabendo que o cabo possui seção transversal circular com 1 cm de diâmetro e que admite força de tração por unidade de área de no máximo 750 , kgf / cm² determine o tempo de entrada de água na caixa, em minutos, até que o cabo se rompa.

Dado: peso específico da água 1000 kgf/m³ ;

π ≅ 3,14

Gabarito:

Resolução:

Considerando que os pontos B e D estejam à mesma altura do solo, temos o seguinte diagrama de forças para a caixa de água:

Analisando as medidas da figura, temos: $analpha = frac{2,5}{6} ightarrow analpha=frac{5}{12}Rightarrow sinalpha=frac{5}{13},,,,,cosalpha=frac{12}{13}$

Então, temos, do equilíbrio na horizontal e na vertical: $left{egin{matrix} T_{BC}cdotcos(45)=T_{CD}cdotcosalpha ightarrow T_{BC}=frac{T_{CD}cdot12sqrt2}{13}\ T_{BC}cdotsin(45)+T_{CD}cdotsinalpha=P end{matrix} ight.$

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

$frac{T_{CD}cdot12sqrt2}{13}cdotfrac{sqrt2}{2}+frac{T_{CD}cdot5}{13}=P ightarrow T_{CD}cdotfrac{17}{13}=P herefore T_{CD}=frac{13P}{17}$

Então: $T_{BC}= frac{13P}{17}cdotfrac{12sqrt2}{13} ightarrow T_{BC}=frac{P cdot 12 sqrt 2}{17}$

Percebemos então que $T_{BC}>T_{CD}$ . Com isso, o lado do fio que arrebentará primeiro é o fio BC.

A equação temporal para o peso P é: $P=P_0+P_{acute agua} ightarrow P=125+ hocdot V(t)$

Observe que o peso inicial da caixa é dada em kgf, a densidade de água é dada em kgf/m³ e a vazão de água é dada em L/h. Então, deixando tudo em kgf, temos:

$P=125+ hocdot V(t)xrightarrow[t,,em,,horas]{V=500cdot t}P=125+1000cdot500cdot10^{-3}cdot t$ $ightarrow P=125+500cdot t$

Então, como a tensão máxima suportada pelo cabo é $750kgf/cm^2$ , temos que a força máxima suportada pelo cabo é: $F_{macute ax}=750frac{kgf}{cm^2}cdotpicdot r^2 cm^2 ightarrow F_{macute ax}=750cdotpicdotfrac{1}{2^2}kgfapprox589kgf$

Logo, para o cabo se romper: $T_{BC}=F_{macute ax} ightarrow frac{Pcdot12sqrt2}{17}=589kgf$

$ightarrow frac{(125+500t)cdot12sqrt2}{17}=589 ightarrow 500t = frac{17cdot589}{12sqrt2}-125$

$ightarrow 500t approx 465 ightarrow tapprox0.93,horas herefore t approx55,8,min$

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