Questão 10

IME 2007

Matemática

(IME - 2007/2008) Considere todos os pontos de coordenadas (x,y) que pertençam à circunferência de equação $x^2+y^2-6x-6y+14=0$ . Determine o maior valor possível de $frac{y}{x}$

Gabarito:

Resolução:

$x^2+y^2-6x-6y+14=0$

$(x-3)^2+(y-3)^2=4$

A razão $frac{y}{x}$ é a tangente de uma reta que passa pela origem e intercepta a circunferência. Assim, a maior razão $frac{y}{x}$ acontece para a reta localizada mais à esquerda:

Logo, o ponto B pertence a uma reta do tipo $y=mx$ . Substituindo na equação:

$x^2+y^2-6x-6y+14=0$

$(1+m^2)x^2+(-6-6m)x+14=0$

Para que ocorra a tangência, é necessário que o Delta seja igual a 0:

$Delta = (6+6m)^2-4cdot 14 cdot (1+m^2)$

$Delta = 36+36m^2-72m-56-56m^2=0$

$-20m^2-72m-20=0$

$5m^2+18m+5=0$

$m=frac{-18 pm 4sqrt{14}}{10}$

$m=frac{-9 pm 2sqrt{14}}{5}$

Maior valor de m: $m=frac{2sqrt{14}+9}{5}$

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