Questão 24

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009)

Considere o sistema acima, onde um objeto PP’ é colocado sobre um carrinho de massa m que se move, em movimento harmônico simples e sem atrito, ao longo do eixo óptico de um espelho esférico côncavo de raio de curvatura R. Este carrinho está preso a uma mola de constante k fixada ao centro do espelho, ficando a mola relaxada quando o objeto passa pelo foco do espelho. Sendo x a distância entre o centro do carrinho e o foco F, as expressões da frequência w de inversão entre imagem real e virtual e do aumento M do objeto são

$w = sqrt{frac{k}{m}} e M = -frac{R}{2x}$

$w = sqrt{frac{m}{k}} e M = -frac{R(R+2x)}{4x(frac{R}{2} + x)}$

$w = sqrt{frac{k}{m}} e M = -frac{R(R+x)}{4x(frac{R}{2} + x)}$

$w = sqrt{frac{k}{R}} e M = -frac{2x}{R}$

$w = sqrt{frac{k}{m}} e M = -frac{R(R+2x)}{4x(frac{R}{2} - x)}$

Gabarito:

$w = sqrt{frac{k}{m}} e M = -frac{R}{2x}$

Resolução:

Este corpo está em MHS. Portanto:

$omega = sqrtfrac{k}{m}$

O espelho côncavo conjuda imagens cirtuais para objetos entre seu foco e vértice. E conjuga imagens reais para objetos mais além do foco. Por isso terá inversar no tipo de imagem formada quando o carrinho passa pelo foco.

Assumindo que a frequência desta inversão considera apenas a mudaça de imagem real para virtual (nesta ordem), pode-se afirmar que a frequência de inversão requisitada é igual àquela de MHS. Então:

$f_{inversao}=f_{MHS} herefore omega = sqrtfrac{k}{m} = 2pi f_{MHS}\ herefore f_{inversao}=frac{1}{2pi}sqrtfrac{k}{m}$

Para o aumento M, considera-se x>0 a distância entre o centro do carrinho e o foco. Temos:

$p=fpm x$

$M = frac{f}{f-p}=frac{f}{f-(fpm x)}= frac{f}{pm x}$

Substituindo o valor:

$M = pmfrac{R}{2x}$

Para hver uma resposta válida, deve-se definir um referencial positivo para x apontado à esquerda. Assim, a alternativa é A.

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