Questão 29

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) Um planeta de massa m e raio r gravita ao redor de uma estrela de massa M em uma órbita circular de raio R e período T. Um pêndulo simples de comprimento L apresenta, sobre a superfície do planeta, um período de oscilação t.

Dado que a constante de gravitação universal é G e que a aceleração da gravidade, na superfície do planeta, é g, as massas da estrela e do planeta são, respectivamente:

$frac{4pi^{2} r^{2 }R}{T^{2}G} e frac{4pi^{2} L r^{2}}{t^{2 }G}$

$frac{4pi^{2} R^{3}}{T^{2} G} e frac{4 pi^{2} L^{2}r}{t^{2}G}$

$frac{4pi^{2} R^{3}}{T^{2}G} e frac{4pi^{2} L r^{2}}{t^{2} G}$

$frac{4pi^{2} rR^{2}}{T^{2}G} e frac{4pi^{2} L^{3}}{t^{2}G}$

$frac{4pi^{2}rR^{2}}{T^{2}G} e frac{4pi^{2} L^{2} r}{t^{2} G}$

Gabarito:

$frac{4pi^{2} R^{3}}{T^{2}G} e frac{4pi^{2} L r^{2}}{t^{2} G}$

Resolução:

A força de atração gravitacional atua como resultante centrípeta para o planeta orbitando a estrela:

$F_G = F_{cp} Rightarrow frac{GMm}{R^2} = frac{mv^2}{R} Rightarrow v^2=frac{GM}{R}$

Para órbita circular a velocidade é:

$v=frac{2pi R}{T}$

Substituindo:

$(frac{2pi R}{T})^2=frac{GM}{R} Rightarrow M=frac{4pi^2 R^3}{T^2G}$

Para um pêndulo simples, o módulo da aceleração da gravidade na superfície do planeta de massa m e raio r é:

$g=frac{Gm}{r^2}$

Do período do pêndulo simples:

$t=2pi sqrtfrac{L}{g}=2pisqrtfrac{L}{frac{Mg}{r^2}} Rightarrow m=frac{4pi^2 Lr^2}{t^2G}$

Alternativa C.

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