Questão 6

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) A figura mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por uma barra BD, dois cabos AD e DE, e uma viga horizontal CF. A barra é fixada em B. Os cabos, de seção transversal circular de 5 mm de diâmetro, são inextensíveis e fixados nos pontos A, D e E. A viga de material uniforme e homogêneo é apoiada em C e sustentada pelo cabo DE. Ao ser colocado um bloco de 100 kg de massa na extremidade F da viga, determine:

a) a força no trecho ED do cabo;

b) as reações horizontal e vertical no apoio C da viga;

c) as reações horizontal e vertical no apoio B da barra.

Dados: aceleração da gravidade: 10 m/s₂ ; densidades lineares de massa: µ₁ = 30 kg/m, µ₂ = 20 kg/m, µ₃ = 10 kg/m; 20 ≈ 5,4 .

Gabarito:

Resolução:

a) Ao isolar a viga CF:

Em que:

$P_1=mu_1 g3=900N\P_2=mu_2g3=600N\P_3=mu_3g3=300N$

Assumindo que a viga está em equilíbrio esátivo, a soma de seus momentos deve ser zero. Assim:

$1,5P_1+4,5P_2-4,5T_{ED}sen heta+7,5P_3+1000cdot 9=0\Rightarrow 900cdot 1,5+600cdot4,5-4,5T_{ED}sen heta+300cdot 7,5+1000cdot9=0\Rightarrow 4,5T_{ED}sen heta=1350+2700+2250+9000=15300$

Do triângulo de theta, em que a é a hipotenusa, 6m é o cateto oposto e 4,5 m, o adjacente:

$a = sqrt(6^2+4,5^2)=7,5m\sen heta=frac{6}{7,5}=0,8\cos heta=frac{4,5}{7,5}=0,6$

Então:

$4,5 T_{ED}sen heta=frac{15300}{4,5cdot 0,8}Rightarrow T_{ED}=4250N$

b) Na viga CF:

$sum F_x=0 herefore T_{ED}cos heta=X_C\ Rightarrow X_C=4250cdot 0,6 Rightarrow X_C = 2550N\ sum F_Y=0 herefore Y_C+T_{ED}sen heta=P_1+P_2+P_3+1000\Rightarrow Y_C=P_1+P_2+P_3+1000-T_{ED}sen heta\Rightarrow Y_C=P_1+P_2+P_3+1000-4250cdot0,8\ herefore Y_C=-600N$

Ou seja, Yc tem sentido contrário do que foi assumido na figura.

c) Na barra BD:

$sum F_x=0Rightarrow T_{ADx}=T_{DEx}+X_BLeftrightarrow T_{DA}cos heta_1=T_{DE}sen heta_2+X_B(I)\\sum F_y=0 Rightarrow Y_B=T_{ADy}+T_{DEy}Leftrightarrow T_B=T_{AD}sen heta_1+T_{DE}cos heta_2(II)$

Pela trigonometria:

$sen heta_1=frac{2}{sqrt20}approx frac{2}{4,5}\sen heta_2=0,6\cos heta_1=frac{4}{sqrt20}approx frac{4}{4,5}\cos heta_2=0,8$

Atribuindo que a somatória dos momentos também é zero:

$4T_{ADx}-4T_{DEx}-2T_{DEy}-2T_{ADy}=0\Rightarrow 4T_{AD}cos heta_1-4T_{DE}sen heta_2-2T_{DE}cos heta_2-2T_{AD}sen heta_1=0\Rightarrow T_{AD}(4cos heta_1-2sen heta_1)=T_{DE}(asen heta_2+2cos heta_2)\\Rightarrow T_{AD}=T_{DE}frac{4sen heta_2+2cos heta_2}{4cos heta_1-2sen heta_1}\\ herefore T_{AD}=6375N$

Substituindo este resultado em I:

$X_B=T_{AD}cos heta_1-T_{DE}sen heta_2=6375frac{4}{4,5}-4250cdot 0,6\ herefore X_B=frac{9350}{3}=3116,67N$

Substituindo Tad em II:

$Y_B=T_{AD}sen heta_1+T_{DE}cos heta2=6375frac{2}{4,5}+4250cdot 0,8\ herefore Y_B=frac{18700}{3}=6233,34N$

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