Questão 7

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) Um industrial possui uma máquina térmica operando em um ciclo termodinâmico, cuja fonte de alimentação advém da queima de óleo combustível a 800 K. Preocupado com os elevados custos do petróleo, ele contrata os serviços de um inventor. Após estudo, o inventor afirma que o uso do óleo combustível pode ser minimizado através do esquema descrito a seguir: um quarto do calor necessário para acionar a máquina seria originado da queima de bagaço de cana a 400 K, enquanto o restante seria proveniente da queima de óleo combustível aos mesmos 800 K. Ao ser inquirido sobre o desempenho da máquina nesta nova configuração, o inventor argumenta que a queda no rendimento será inferior a 5%. Você julga esta afirmação procedente? Justifique estabelecendo uma análise termodinâmica do problema para corroborar seu ponto de vista. Considere que, em ambas as situações, a máquina rejeita parte da energia para o ar atmosférico, cuja temperatura é 300 K.

Gabarito:

Resolução:

O rendimento é dado por:

$eta = frac{ au}{Q_Q}$

E é máximo quando ocorre o Cliclo de Carnot, operando entre as temperaturas da fonte quente e da fonte fria. Então:

$eta_{Carnot}= 1-frac{T_C}{T_H}$

$eta leqslant eta_{Carnot} Rightarrow frac{ au}{Q_Q} leq 1-frac{T_F}{T_Q}\ eta_0=frac{ au_0}{Q_Q} leq 1-frac{300}{800}Rightarrow eta_0 leq frac{5}{8}$

Para a primeira máquina. Agora para a segunda, sendo ela uma associação de duas máquinas, o rendimento de cada uma delas satisfaz:

$left{egin{matrix} eta_1 leq 1-frac{300}{400} Rightarrow frac{ au_1}{frac{1}{4}Q_Q} leq frac{1}{4} Rightarrow frac{ au_1}{Q_Q}leq frac{1}{16} \ eta_2leq1-frac{300}{800}Rightarrow frac{ au_2}{frac{3}{4}Q_Q}leqfrac{5}{8}Rightarrow frac{ au_2}{Q_Q}leq frac{15}{32} end{matrix} ight.$

Portanto, o rendimento será:

$eta =frac{ au_1+ au_2}{Q_Q}=frac{ au_1}{Q_Q}+frac{ au_2}{Q_Q}\Rightarrow etaleq frac{1}{16}+frac{15}{32}\ herefore etaleqfrac{17}{32}$

Se cada uma das máquinas envolvidas executasse o Ciclo de Carnot, seria:

$eta=frac{17}{32}=0,53125\eta_0=frac{5}{8}=0,625\$

Em que a variação percentual do rendimento é:

$frac{eta - eta_0}{eta_0}=frac{frac{17}{32}-frac{5}{8}}{frac{5}{8}}=-0,15$

Logo, é possível passar da primeira para a segunda situação tendo uma queda de rendimento de 15%. O que torna a afirmação do inventor falsa.

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