Questão 8

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) Um motociclista de massa m₁ deseja alcançar o topo de uma plataforma. Para isso, ele faz uso de uma moto de massa m₂, uma corda inextensível de massa desprezível e uma rampa de inclinação θ. Ao saltar da rampa, o motociclista atinge a corda na situação em que esta permanece esticada e o esforço despendido por ele é o menor possível. Para evitar ruptura por excesso de peso, o motociclista libera a moto no momento do contato com a corda, que o conduz para o topo da plataforma. Nestas condições, determine o vetor velocidade do motociclista na saída da rampa.

Gabarito:

Resolução:

O diagrama desta situação é:

Perceba que o movimento do motociclista é um lançamento oblíquo de um ângulo theta. Foi considerado que para realizar o menor esforço e ao mesmo tempo manter a corda esticada, ele deve atingir a corda ao passar pelo vértice da parábola. Até atingir ela, o sistema moto e motociclista percorre uma distância x na horizontal e y na vestical. Então:

$x=frac{v_0^2sen2 heta}{2g}=frac{(v_x^2+v_{0y}^2)sen2 heta}{2g}(1)$

Considerando que houve conservação da energia do sistema desde o instante que ele sai da rampa até agarrar na corda:

$frac{(m_1+m_2)v_{0y^2}}{2}=(m_1+m_2)gyRightarrow v_{0y}^2=2gy(2)$

Desde o instante que o motociclista agarra a corda até o momento em que ele atinge o topo da plataforma com velocidade nula, pode-se aplicar novamente a conservação da energia, agora somente para a pessoa:

$frac{m_1v_x^2}{2}=m_1g(H-y)Rightarrow v_x^2=2g(H-y)(3)$

Substituindo 3 e 2 em 1:

$x=frac{2gHsen2 heta}{2g}=Hsen2 heta$

O raio da trajetória circular descrita pelo motociclista é:

$R = T - x=H-yRightarrow y=H-T+x\ herefore y=H-T+Hsen2 heta$

Dessa forma:

$v_{0y}^2=2gy=2g(H-T+Hsen2 heta)\v_x^2=2h(H-y)=2g(T-Hsen2 heta)$

Então a velocidade inicial será:

$V_0=sqrt(2g(H-T+Hsen2 heta))vec i+sqrt(2h(H-y)=2g(T-Hsen2 heta))vec j$

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