Questão 9

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) Na figura abaixo, há um espelho com a face refletora para baixo, tendo uma de suas extremidades presa a um eixo que permite um movimento pendular, e um canhão, que emite concomitantemente um raio de luz. Abaixo do espelho existem dois corpos de massa m e cargas de mesmo módulo e sinais opostos. Os corpos estão apoiados sobre um trilho sem atrito, fixados em suas extremidades e no mesmo plano vertical que o canhão de luz. Os corpos estão imersos no campo elétrico uniforme existente entre as placas de um capacitor, que é energizado por uma fonte variável U(x).

No momento em que o espelho inicia o movimento, a partir da posição inicial e com aceleração tangencial de módulo constante, o corpo de carga negativa é liberado. Para que a aceleração deste corpo seja constante e máxima no sentido do eixo X, determine:

a) a expressão de U(x), onde x representa a posição do corpo de carga negativa relativa à origem O do eixo X;

b) o módulo da aceleração tangencial da extremidade livre do espelho, para que o raio de luz atinja a carga de prova negativa no momento em que o deslocamento angular do espelho seja de 50º.

Dados: Q = 10^-4 C; m = 20 g, l = 1,0 m, d = 0,5 m, g = 10 m/s²

Gabarito:

Resolução:

a) A carga deve movimentar com aceleração constante apontada para a esquerda. Assim, a força resultante também é constante. Portanto, a F da carga aponta para a esquerda e F do capacitor, para a direita. Assim:

$|F_R|=|F_{carga}-|F_{capac}|\ma = frac{kQ^2}{(2d-x)^2}-Qcdot E=frac{kQ^2}{(2d-x)^2}-Qfrac{U(x)}{4d}(1)$

Para x = 0, também vale a igualdade. Então:

$ma = frac{kQ^2}{4d^2}-Qcdot E=frac{kQ^2}{4d^2}-Qfrac{U(0)}{4d}(2)$

Igualando 1 e 2:

$U(x)-U(0)=4dkQ(frac{1}{(2d-x)^2}-frac{1}{(2d)^2})$

Como a aceleração deve ser máxima, devemos ter no ponto inicial x=0 a maior força resultante acontece quando E = 0, U(0) = 0. Note que quanto menor a distância, maior será a força da carga e consequentemente maior serpa a do capacitor, o que manterá a força resultante constante. Então:

$U(x)=4dkQ(frac{1}{(2d-x)^2}-frac{1}{(2d)^2})$

Substituindo os valores do enunciado e o valor da constante universal:

$U(x)=4cdot 0,5cdot 9cdot 10^9cdot10^{-4}(frac{1}{(2cdot 0,5-x)^2}-frac{1}{(2cdot 0,5)^2})\ herefore U(x)=1,8cdot 10^6 frac{x(2-x)}{(1-x)^2}$

b) Quando o espelho está com ângulo de 50 º, há a seguinte representação do raio luminoso que deve atingir a carga negativa:

Com aceleração constante e no ponto x = 0, temos U(0) = 0:

$ma = frac{kQ^2}{(2d)^2}Rightarrow a=frac{kQ^2}{4md^2}(3)$

Assim, a partir do repouso, podemos relacionar o deslocamento da carga como:

$Delta x = frac{1}{2}at^2Rightarrow frac{1}{2}frac{kQ^2}{4md^2}t^2 (4)$

Dividindo 3 por 4:

$frac{Delta x}{Delta heta_{extre}l} = frac{frac{kQ^2}{4md^2}}{a_T} Rightarrow a_T = frac{ heta_{extre}l}{Delta x}frac{kQ^2}{4md^2}$

Como

$frac{Delta x}{l} = frac{frac{kQ^2}{4md^2}}{a_T} Rightarrow a_T = frac{ heta_{extre}l}{Delta x}frac{kQ^2}{4md^2}\ Delta heta_{extre} = frac{5pi}{18} e x=d+dtgfrac{pi}{9}$

Substituindo todos os valores na equação, encontra-se

$a_T = frac{5pi}{2(1+tgfrac{pi}{9})}10^3m/s^2$

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