Questão 10

IME 2008

Física

(IME - 2008/2009) A figura apresenta um plano inclinado, sobre o qual estão dois blocos, e, em sua parte inferior, uma mola com massa desprezível. A superfície deste plano apresenta coeficiente de atrito estático $mu _{e} = 5sqrt{3}/13$ e coeficiente de atrito cinético $mu_{c} = 0,3 sqrt{3}$ . O bloco A está fixado na superfície. O bloco B possui massa de 1kg e encontra-se solto. Sabe-se que a superfície abaixo da mola não possui atrito e que os blocos A e B estão eletricamente carregados com, respectivamente, $+40 cdot 10^{-4} C$ e $-(sqrt{3}/39) cdot 10^{-3} C$ . Desconsiderando as situações em que, ao atingir o equilíbrio, o bloco B esteja em contato com o bloco A ou com a mola, determine:

a) as alturas máxima e mínima, em relação à referência de altura, que determinam a faixa em que é possível manter o bloco B parado em equilíbrio;

b) a velocidade inicial máxima v com que o bloco B poderá ser lançado em direção a mola, a partir da altura h_b = 20 m, para que, após começar a subir o plano inclinado, atinja uma posição de equilíbrio e lá permaneça.

Dados:

• aceleração da gravidade: 10 m/s² ;

• constante eletrostática: 9 x 10⁹ Nm² /C²

Observação: desconsidere as dimensões dos blocos para os cálculos

Gabarito:

Resolução:

Na altura mínima haverá a seguinte configuração:

Teremos a menor força elétrica e a maior força de atrito estático. Assim:

$F_{eletrica}+F_{atrito}=msen heta$

Além disso:

$N=msen heta, F_{eletrica}=frac{KQ_AQB}{(frac{40-h_B}{sen heta})^2} e F_{atrito}=mu_eN$

Dessa forma:

$Rightarrow frac{KQ_AQ_B}{(frac{40-h_B}{sen heta})^2}+mu_emgcos heta=mgsen heta\ Rightarrow (frac{40-h_B}{sen heta})^2=frac{kQ_AQ_B}{mgsen heta-mu_emgcos heta}\ h_B=sqrt(frac{kQ_AQ_Bsen^2 heta}{mg(sen heta-mu_e cos heta)})$

Substituindo os valores, encontra-se $h_{Bmin}=25m$ .

Agora na altura máxima teremos a maior força elétrica e a maior força de atrito estático. Assim:

$F_{eletrica}=mgsen heta+F_{atrito}$

Logo:

$frac{KQ_AQ_B}{(frac{40-h_B}{sen heta})^2}=mgsen heta+mu_eN\ Rightarrow h_B=40-sqrt(frac{KQ_AQ_Bsen^2 heta}{mg(sen heta+mu_ecos heta)})$

Substituindo os valores, encontra-se $h_{B max}=30m$ .

b) O bloco desce 20/sen60 metros e depois sobre 30/sen60 metros. A força de atrito consumirá então:

$au_{atrito}=mu_CNd=mu_Cmgcos heta d = 150J$

Além disso, o trabalho da força de atrito é o que torna o sistema não conservativo, reduzindo a energia mecânica:

$au_{atrito}=-Delta E_M= E_{M inicial}-E_{M final} Rightarrow E_{M inicial}- au_{atrito}=E_{M final}$

A energia mecânica é composta pela energia cinética, potengial gravitacional e potencial elétrica:

$frac{mv^2}{2}+mgh_{B0}+frac{KQ_AQ_B}{frac{40-h_{B0}}{sen heta}}-150=0+mgh_{BF}+frac{KQ_AQ_B}{frac{40-h_{BF}}{sen heta}}$

Isolando a velocidade e substituindo os valores, chegamos ao valor de

$v = 10sqrt(frac{47}{13}) approx 19 m/s$ .

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