Questão 3

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1ª fase] A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é:

Gabarito:

Resolução:

Com base nas informações do enunciado, temos o seguinte esboço:

Se o retângulo possui área S, então temos que $acdot b = S$ .

Olhando para o triângulo VAB, temos:

$tg(30^{circ}) = frac{h}{a} Leftrightarrow h = frac{a}{sqrt{3}}$

Olhando para o triângulo VAD, temos:

$tg(60^{circ}) = frac{h}{b} Leftrightarrow h = bsqrt{3}$

Igualando as duas equações, temos que:

$frac{a}{sqrt{3}} = bsqrt{3} Leftrightarrow a = 3b$

Dessa forma, temos que a área S será:

$S = acdot b Leftrightarrow S = (3b)cdot b Leftrightarrow$

$Leftrightarrow S = 3b^2 Leftrightarrow b = sqrt{frac{S}{3}}$

Com isso temos que o volume da pirâmide, será:

$V = frac{Scdot h}{3} = frac{Scdot (bsqrt{3})}{3} = frac{Ssqrt{S}}{3}$

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