Questão 5

IME 2010

Matemática

[IME- 2010/2011 - 1a fase] Uma reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,–1). Uma outra reta, com coeficiente angular , passa pelo ponto (0,1). Sabe-se que . O lugar geométrico percorrido pelo ponto de interseção das duas retas é uma:

hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes

circunferência de centro (

) e raio

hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes

elipse de centro (0,0) e retas diretrizes

elipse de centro (

) e retas diretrizes

Gabarito: hipérbole de centro (0,0) e retas diretrizes

Resolução:

Seja r a reta que possui coeficiente angular $a_1$ e passa por $(0,-1)$ .

Fazendo sua equação como $y=a_1x+b_1$ , segue que $y=a_1x-1$ . Seja s a reta que possui coeficiente angular $a_2$ e passa por $(0,1)$ .

Fazendo sua equação como $y=a_2x+b_2$ , segue que $b_1=a_2cdot 0+b_2Leftrightarrow b_2=1$ , de modo que a equação reduzida de s é dada por $y=a_2x+1$

Seja finalmente (x,y) o ponto de encontro de r e s. Observe que como as retas passam respectivamente por (0, -1) e (0, 1), x = 0 não representa nenhum ponto de encontro entre elas. Assim:

$y=a_1x-1Rightarrow a_1=frac{y+1}{x}$

$y=a_2x-1Rightarrow a_2=frac{y-1}{x}$

Como $a_1^2+a_2^2=2$ :

$left (frac{y+1}{x} ight )^2+left ( frac{y-1}{x} ight )^2=2Leftrightarrow (y+1)^2+(y-1)^2=2x^2$

Expandindo os termos:

$y^2+2y+1+y^2-2y+1=2x^2Leftrightarrow x^2=y^2+1Leftrightarrow x^2-y^2=1$

Assim, o lugar geométrico dos pontos de encontro das retas r e s é a hipérbole de equação $x^2-y^2=1$ . Essa equação representa uma hipérbole equilátera com focos no eixo x, centro na origem e com semi-eixos a e b exatamente iguais a 1. Seja 2c a distância entre os focos. Assim:

$c^2=1^2+1^2Leftrightarrow c=sqrt{2}$

A excentricidade dessa hipérbole é a razão $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{2}}{1}=sqrt{2}$ , enquanto as diretrizes são retas perpendiculares ao eixo real ( e consequentemente perpendiculares ao eixo x ) que passam nos pontos $left ( pm frac{e}{a};0 ight )$ , tendo, portanto, equações reduzidas dadas por $x=pm frac{a}{e}$ .

Assim, as diretrizes são: $x=pm frac{1}{2}Rightarrow x=pm frac{1}{2}$

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