Questão 18
IME 2014
[IME - 2014/2015 - 1a fase]
Uma chapa rígida e homogênea encontra-se em equilíbrio. Com base nas dimensões apresentadas na figura, o valor da razão /
é
Gabarito:
11,5975
Resolução:
Observando o desenho com a separação feita acima, podemos perceber que as regiões 3, 4 e 5 não produzem torque em relação ao ponto de apoio, pois o centro de massa dessas regiões estará na linha vertical que passa pelo ponto de apoio.
Então só precisamos que o momento causado pela região 1 tenha mesmo módulo que o momento causado pela região 2.
Ambas regiões são retângulos, e se a chapa é homogênea como diz o enunciado, o centro de massa dessas regiões está no ponto de simetria delas.
Então o centro de massa de 1 está a 4a da linha vertical que passa pelo ponto de apoio, e o centro de massa de 2 está a 5a dessa mesma linha.
Agora só precisamos encontrar as massas de cada região e substituir em M1.g.4a = M2.g.5a que nos leva diretamente a M2/M1 = 0,8.
Como a chapa é homogênea, a razão entre as massas será a mesma razão entre as áreas.
Então M2/M1 = A2/A1.
A1 = 4a.5a, e A2 = 2a.(x-3,5975a)
Então M2/M1 = 2a(x-3,5975)/20a².
Mas M2/M1 = 0,8, então 2a(x-3,5975a)/20a² = 0,8.
ax -3,5975a² = 8a².
Queremos encontrar x/a, então vamos dividir toda a expressão acima por a² e isolar o termo x/a.
x/a = 8 +3,5975 = 11,5975.