Questão 4

IME 2014

Física

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Considere a figura acima. A bobina l, com N₁espiras, corrente i e comprimento L gera um campo magnético constante na região da bobina II. Devido à variação da temperatura da água que passa no cano, surge uma tensão induzida na bobina ll com N₂ espiras e raio inicial r_0. Determine a tensão induzida na bobina II medida pelo voltímetro da figura.

Dados:

- permissividade da água: $mu$

- coeficiente de dilatação da bobina: $alpha$

- variação temporal da temperatura: b.

Observações:

- considere que $frac{Delta r^{2}}{Delta t}approx 2r_{0} frac{Delta r}{Delta t}$ onde $Delta r$ e $Delta t$ são respectivamente, a variação do raio da bobina II e a variação do tempo;

- suponha que o campo magnético a que a bobina II está sujeita é constante na região da bobina e igual à determinada no eixo central das bobinas.

Gabarito:

Resolução:

Calculando a variação do raio da espira ao longo do tempo:

$frac{Delta t}{Delta t} = r_{0} alpha b$

Portanto, a variação da área nesse mesmo intervalo de tempo será dado por:

$frac{Delta A}{Delta t} = frac{pi Delta r ^{2}}{Delta t}$

Substituindo pela aproximação do comando da questão:

$frac{Delta A}{Delta t} = pi cdot frac{2r_{0} Delta r}{Delta t}$

Substituindo:

$frac{Delta A}{Delta t} = pi cdot 2 r_{0} cdot r_{0} cdot alpha b$

$frac{Delta A}{Delta t} = 2pi cdot r_{0}^{2} alpha b$

Sabemos que o campo gerado por uma bobina pode ser obtido pela expressão:

$B_{1} = frac{mu i N_{1}}{L}$

Portanto a f.e.m induzida será dada por:

$varepsilon = frac{Delta phi }{Delta t} cdot N_{2} Rightarrow varepsilon = frac{Delta (Bcdot A) N_2}{Delta t}$

Como o campo gerado é constante na região analisada:

$varepsilon = frac{B_{1} cdot Delta A cdot N_{2}}{Delta t} = frac{mu i N_{1}}{L} cdot 2pi r_{0} ^{2} cdot alpha b N_{2}$

Portanto:

$varepsilon = frac{2 pi mu i N_1 N_2 r_{0} ^{2} alpha b}{L}$

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