Questão 2
IME 2014
[IME- 2014/2015 - 2ª fase]
Um corpo com massa m, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal e preso a uma mola de constante elástica k, representado na figura, recebe um impulso I, para a direita, dando início a um Movimento Harmônico Simples (MHS). Inicialmente não existe atrito entre o corpo e a superfície horizontal devido à presença de um lubrificante. Contudo, após 1000 ciclos do MHS, o lubrificante perde eficiência e passa a existir atrito constante entre o corpo e a superfície horizontal. Diante do exposto, determine:
a) a máxima amplitude de oscilação;
b) o módulo da aceleração máxima;
c) a máxima energia potencial elástica;
d) a distância total percorrida pelo corpo até que este pare definitivamente.
Dados:
• massa do corpo: m = 2 kg;
• impulso aplicado ao corpo: I = 4 kg.m/s;
• constante elástica da mola: k = 8 N/m;
• coeficiente de atrito: µ = 0,1;
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s².
Observação:
• a massa da mola é desprezível em relação à massa do corpo.
Gabarito:
Resolução:
a) O impulso é calculado por:
Pela conservação de energia:
Substituindo os valores A = 1 m
b) É necessário analisar a situação com e sem atrito. Para o caso do atrito ser desprezível a aceleração máxima ocorre em x = 1 metro. Portanto:
Com atrito, primeiro devemos encontrar a elongação máxima.
Ainda, pela conservação de energia:
Substituindo os valores:
Resolvendo por Bhaskara e mantendo a raiz conveniente:
Quando x = d teremos a aceleração máxima e a força resultante será dada por:
c) A energia potencial elástica máxima ocorre quando x = A, na situação sem atrito:
d) O sistema entrará em repouso quando a resultante das forças for zero e sua veloidade também. Como vimos que são realizados 1000 ciclos, o atrito passa a atuar quando o bloco passa pelo ponto de amplitude nula, atingindo uma máxima amplitude a uma distância d já calculada.
Neste ponto, a força de atrito tem seu módulo máximo, tal que:
Assim, temos a condição de velocidade nula, mas não da resultante nula das forças. Portanto, vamos analisar a nova posição em que a velocidade se anula:
Temos uma equação de segundo grau na qual sabemos pelo menos uma das raizes, isto é, igual a d.
Assim, podemos encontrar a outra equação por soma e produto:
Obtendo a força elástica para verificar se satisfaz o equilíbrio, obtemos:
Dessa maneira, o corpo ainda não se encontrará em equilíbrio estático, mais uma vez, temos:
Montando a equação:
Analogamente, por soma e produto:
Verificando se a condição é satisfeita:
Como queremos a distância percorrida, temos que somar as distâncias percorridas durante as oscilações isentas de atrito mais aquelas enquanto atua a força de atrito.