Questão 8

IME 2014

Física

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

A figura acima mostra uma rampa AB no formato de um quarto de circunferência de centro O e raio r. Essa rampa está apoiada na interface de dois meios de índices de refração n1 e n2. Um corpo de dimensões desprezíveis é lançado do ponto A com velocidade escalar v0, desliza sem atrito pela rampa e desprende-se dela por efeito da gravidade. Nesse momento, o corpo emite um feixe de luz perpendicular à sua trajetória na rampa, que encontra a Base 2 a uma distância d do ponto P.

Determine:

a) a altura relativa à Base 1 no momento em que o corpo se desprende da rampa, em função de v0;

b) o valor de v0 para que d seja igual a 0,75 m; c) a faixa de valores que d pode assumir, variando-se v0.

Dados:

• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;

• raio da rampa: |OA| = 2 m; • espessura do meio 2: h = 1 m;

• índice de refração do meio 1: n1 = 1;

• índice de refração do meio 2: n2 = 4/3.

Gabarito:

Resolução:

a) Pela relação geométrica:

$y = Rcos alpha _{i}$

Também temos as forças peso e normal atuando sobre o corpo:

$P cos alpha _{i} + N = F_{cp}$

Queremos o instante em que o corpo se desprende, isto é, quando a força normal tende a zero:

$mg cos alpha _{i} = frac{mv^{2}}{R}$

$v^{2} = gRcos alpha _{i}$

Seja $y = Rcosalpha _{i}$ , temos:

$v^{2} = gy$

Pelo Teorema da Conservação de Energia, assumindo a Base 1 como referencial para a altura:

$E_{mec A} = E_{mec D}$

$frac{mv_{0}^{2}}{2} = frac{mv^{2}}{2} + mgy$

Substituindo a equação acima e multiplicando tudo por 2:

$v_{0}^{2} = gy + 2gy$

$y = frac{v_{0}^{2}}{3g}$

$oxed {y = frac{v_{0}^{2}}{30}}$

b) Sendo d e h, para o raio no interior do meio de índice de refração n₂temos o seguinte triângulo retângulo:

Aplicando-se a Lei de Snell:

$n_{1} sen alpha _{i} = n_{2} sen alpha _{r}$

$1 cdot sen alpha _{i} = frac{4}{3} cdot frac{0,75}{1,25}$

$alpha _{i} = 0,8$

Da primeira equação determinamos y e da resposta do item (a) encontramos o que se pede:

$y = Rcos alpha _{i} = R sqrt{1 - sen^{2} alpha _{i}} = 2 cdot sqrt{1 - 0,64}$

$y = 1,2 m$

Portanto:

$y = frac{v_{0}^{2}}{3g}$

$v_{0} = sqrt{3gy}$

$v_{0} = sqrt{3 cdot 10 cdot 1,2}$

$v_{0} = 6 m/s$

c) O menor valor de d se dá quando o móvel se encontra no ponto B, assim o raio tem uma trajetória vertical e não terá desvio:

$oxed {d_{min} = 0}$

O maior valor de d se dá quanto o móvel se encontra na base 1, isto é, quando sua velocidade inicial tender a zero. Assim, o feixe luminoso atinge O rasante à base 1, assim, pela Lei de Snell:

$n_{1} sen alpha _{i} = n_{2} sen alpha _{r}$

$1 cdot sen 90 ^{circ} = frac{4}{3} sen alpha _{r}$

$sen alpha _{r} = frac{4}{3}$

Mais uma vez, para o feixe no interior do meio de índice de refração n₂, montamos o seguinte o triângulo retângulo e aplicamos o Teorema de Pitágoras:

Assim: