Questão 1431

IME 2016

Física

[IME 2016/2017 - 1ª fase]

Uma corda mista sobre o eixo horizontal tem uma densidade linear para a coordenada x < 0 e outra para x ≥ 0. Uma onda harmônica, dada por , onde 7 é o instante de tempo, propaga-se na região onde x < 0 e é parcialmente refletida e parcialmente transmitida em x = 0. Se a onda refletida e a transmitida são dadas por e , respectivamente, onde , k₁ e k₂ são constantes, então a razão entre as amplitudes da onda refletida e da incidente, dada por |B/A|, é igual a:

Obs: considere , para |x| próximo a zero.

Gabarito:

Resolução:

Esta questão lança mão do conhecimento da fórmula de amplitudes de ondas refletidas (também podemos encaixar aqui a fórmula de amplitudes de ondas transmitidas).

As equações são como as seguintes:

$A_{refletida}=frac{v_{meio,2}-v_{meio,1}}{v_{meio,2}+v_{meio,1}}$ e $A_{transmitida}=frac{2v_{meio,1}}{v_{meio,2}+v_{meio,1}}$ ,

onde $v_{meio,2}$ é a velocidade no meio seguinte ao meio no qual se propaga a onda incidente e $v_{meio,1}$ é a velocidade no meio no qual se propaga a onda incidente, ou seja, $v_{meio,1}$ é a velocidade da onda incidente.

A prova desses resultados pode ser obtida pela conservação de energia do sistema. Ao colidir-se com o meio 2, a onda tem sua energia total dividida em uma parte que é refletida para o mesmo meio onde a onda se propagava e em uma outra parte que é transmitida para o outro meio, o meio 2. Considerando que nesse processo não há dissipação de energia podemos considerar:

$phi_{incidente, ightarrow meio,1}=phi_{refletida, ightarrow meio,1}+phi_{transmitida, ightarrow meio,2}$ , sendo $phi$ o fluxo de energia que a onda promove no meio.

Fluxo de energia é igual a energia dividido por tempo. A energia da onda é dada como uma proporcionalidade com a amplitude da onda ao quadrado. A equação que descreve a energia (intensidade) é:

$phi=frac{1}{2}cdot ho cdot left(omegacdot A ight )^2cdot V$ , onde $ho$ é a densidade do material, A é a amplitude e V é a velocidade da onda no meio.

Também devemos nos lembrar que a amplitude da onda transmitida deve ser igual à subtração da amplitude da onda incidente com a onda refletida:

$A-B=C$

Lembrando que a velocidade da onda é dada por $V=frac{omega}{k}$ , k é o multiplicador de x, e com a equação da conservação de energia e do fluxo podemos escrever

$frac{1}{2}cdot ho_1 cdot left(omegacdot A ight )^2cdot V_1=frac{1}{2}cdot ho_1 cdot left(omegacdot B ight )^2cdot V_1+frac{1}{2}cdot ho_2 cdot left(omegacdot C ight )^2cdot V_2$

Desenvolvendo a equação acima:

$ho_1 cdot A^2cdot V_1= ho_1cdot B^2cdot V_1+ ho_2 cdot C^2cdot V_2Rightarrow$

$Rightarrow ho_1 cdot A^2cdot V_1- ho_1cdot B^2cdot V_1= ho_2 cdot C^2cdot V_2Rightarrow$

$Rightarrow ho_1 cdot V_1left(A^2-B^2 ight )= ho_2 cdot C^2cdot V_2$

Lembrando que $A-B=C$ , temos:

$Rightarrow ho_1 cdot V_1left(A^2-B^2 ight )= ho_2 cdot left(A-B ight )^2cdot V_2Rightarrow$

$Rightarrow ho_1 cdot V_1left(A-B ight )cdotleft(A+B ight )= ho_2 cdot left(A-B ight )^2cdot V_2Rightarrow$

$Rightarrow ho_1 cdot V_1cdotleft(A+B ight )= ho_2 cdot left(A-B ight )cdot V_2$

Como queremos $frac{B}{A}$ , façamos a divisão da equação acima por A:

$ho_1 cdot V_1cdotleft(1+frac{B}{A} ight )= ho_2 cdot left(1-frac{B}{A} ight )cdot V_2Rightarrow frac{B}{A}=frac{ ho_2V_2- ho_1V_1}{ ho_2V_2+ ho_1V_1}$

Como $V=frac{omega}{k}$ , então $V_1=frac{omega}{k_1}$ e $V_2=frac{omega}{k_2}$ :

$frac{B}{A}=frac{ ho_2V_2- ho_1V_1}{ ho_2V_2+ ho_1V_1}=frac{ ho_2cdotfrac{omega}{k_2}- ho_1cdotfrac{omega}{k_1}}{ ho_2cdotfrac{omega}{k_2}+ ho_1cdotfrac{omega}{k_1}}=frac{ ho_2k_1- ho_1k_2}{ ho_2k_1+ ho_1k_2}$

Agora vamos lançar mão do conhecimento de que

$V_1=sqrt{frac{T}{ ho_1}}$ , onde T é a tração na corda inteira. Desta forma,

$V_1=sqrt{frac{T}{ ho_1}}=frac{omega}{k_1}Rightarrow ho_1=Tcdotleft(frac{k_1}{omega} ight )^2=frac{T}{omega^2}cdot k_1^2$ .

Analogamente para V₂:

$V_2=sqrt{frac{T}{ ho_2}}=frac{omega}{k_2}Rightarrow ho_2=Tcdotleft(frac{k_2}{omega} ight )^2=frac{T}{omega^2}cdot k_2^2$

Substituindo esses valores de $ho$ na equação de B/A e chamando $frac{T}{omega^2}=lambda$ :

$frac{B}{A}=frac{ ho_2k_1- ho_1k_2}{ ho_2k_1+ ho_1k_2}=frac{lambdacdot k_2^2cdot k_1-lambdacdot k_1^2cdot k_2}{lambdacdot k_2^2cdot k_1+lambdacdot k_1^2cdot k_2}=frac{k_2k_1cdotleft(k_2-k_1 ight )}{k_2k_1cdotleft(k_2+k_1 ight )}=frac{k_2-k_1}{k_2+k_1}$

Tirando o módulo:

$left|frac{B}{A} ight|=left|frac{k_2-k_1}{k_2+k_1} ight|$

A alternativa correta é, portanto, a Letra E.

Questão 1431

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