Questão 1434
IME 2016
[IME 2016/2017 - 1ª fase]
Uma partícula de carga positiva +Q penetra numa região de comprimento d1 sujeita a um campo magnético de baixa intensidade e ortogonal ao plano da figura acima. Em seguida, penetra numa região de comprimento d2, onde não existe campo magnético. Ao longo das regiões de comprimento d1 e d2, a partícula percorre a trajetória indicada pela linha tracejada da figura acima. Dadas as informações a seguir, a distância a, indicada na figura entre a origem e o ponto de passagem da partícula pelo eixo Y, é aproximadamente:
Dados:
- velocidade inicial da partícula: ortogonal ao eixo Y e de módulo
;
- módulo do campo magnético da região: B;
- distância entre o fim da região do campo magnético e o eixo Y: d2;
- massa da partícula: m;
- d2 ≫ d1;
- deslocamento vertical da partícula dentro da região magnetizada << d1.
Gabarito:
Resolução:
A primeira coisa a se fazer é desenhar o seguinte esquema:
Nesse esquema representamos o setor circular de raio R percorrido pela partícula que tem um ângulo central x, e esse ângulo x é exatamente o mesmo ângulo de inclinação entre a trajetória pontilhada e a horizontal.
A força magnética nesse caso é a nossa resultante centrípeta.
Dessa forma, podemos escrever
O ângulo entre o campo magnético e a velocidade é de 90º.
Dessa forma, podemos inferir que
Dos dados do enunciado: "deslocamento vertical da partícula dentro da região magnetizada << d1"
Então, podemos dizer que o arco percorrido nessa região pela partícula é aproximadamente igual a d1.
E lembre-se que o comprimento do arco é dado por xR.
Dessa forma. xR = d1.
Perceba também que para essa aproximação ser válida, o ângulo x deve ser bem pequeno, então vale para x a aproximação tg(x) = sen(x) = x.
Além disso, a elevação apresentada no desenho inicial da resolução deve ser considerada nula já que este deslocamento vertical é muito menor que d1, e d2 é muito menor que d1.
Assim, quando fizermos tg(x) = (a-elevação)/d2 podemos separar e escrever tg(x) = a/d2 - elevação/d2. E o termo elevação/d2 será insignificante.
Dessa forma, usando da aproximação tg(x) = x = a/d2.
Então, voltamos à expressão xR = d1 e escrevemos R = d1d2/a.
Mas
Então,
Queremos descobrir o valor de a, então vamos isolar ele na expressão acima:
Alternativa A.