Questão 1
IME 2016
[IME-2016/2017 - 2ª fase]
Como mostra a figura acima, a fonte sonora F1 está presa ao teto por uma haste vertical. Outra fonte sonora F2 está pendurada, em equilíbrio, por uma mola ideal na fonte F1. As duas fontes emitem sons de mesma frequência f e em mesma fase. Se, em uma reta horizontal passando pela fonte F2, a intensidade do som é máxima no ponto P (primeiro máximo de intensidade), situado a uma distância d de F2, determine:
a) A frequência f das fontes, em função dos demais parâmetros;
b) A equação que expressa a posição vertical da fonte F2 em função do tempo, a partir do instante em que a fonte F2 foi liberada, caso a fonte F2 seja deslocada para baixo por uma força externa até que a intensidade do som seja mínima no ponto P (primeiro mínimo de intensidade) e depois liberada.
Dados:
• d = 1 m ; • Peso da fonte: F2 = 10 N ;
• Comprimento da mola relaxada: 90 cm ;
• Constante elástica da mola: 100 N/m;
• Velocidade do som: 340 m/s;
• Aceleração da gravidade: 10 m/s2 ;
• √2=1,4.
• √0,11 =0,33
Gabarito:
Resolução:
a) Partimos da seguinte situação:
F2 está equilibrada, então o comprimento do segmento vermelho é L +x, em que L é o comprimento da mola relaxada e x é a elongação sofrida para a mola sustentar o Peso da fonte.
Desta forma, PF2 = kx.
10 = 100x, logo x = 10cm.
Sendo assim, o comprimento do segmento vermelho vale 1 metro.
Para acontecer o primeiro máximo em P, a diferença de caminho, representada pelo comprimento do segmento azul - d, deve ser igual ao comprimento de onda da onda.
O comprimento do segmento azul é , já que temos um triângulo retângulos isósceles com catetos de tamanho 1 m.
Assim podemos escrever , e pelos dados do enunciado
.
Mas estamos interessados na frequência. Da equação fundamental da ondulatória:
.
Substituindo os valores dados no enunciado:
.
b) A fonte F2 é deslocada um certo y0, além da posição de equilíbrio, tal que obtemos o primeiro mínimo de intensidade em P.
A distância entre F1 e o ponto P continua valendo 1,4 m.
Mas a distância entre F2 e o ponto P passa a ser .
Para termos um mínimo, a diferença de caminho deve ser metade do comprimento de onda da onda:
.
Colocando o eixo de referência com origem em F1, e sendo para baixo o sentido positivo podemos escrever:
y(t) = 1 + 0,66cos(wt), em que w é a frequência angular do mhs descrito pelo sistema massa-mola: .
Fica fácil notar que se o Peso é 10 N, e a aceleração da gravidade é 10m/s² então m = 1kg.
E sendo assim, w = 10 rad/s.
Logo, y(t) = 1 + 0,66cos(10t).