Questão 8
IME 2016
[IME-2016/2017 - 2ª fase]
A figura acima apresenta uma estrutura em equilíbrio, formada por oito barras AC, BC, AF, CF, CD, DE, DF e EF conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A e B. Os apoios A e B impedem as translações nas direções dos eixos x e y. Todas as barras são constituídas por material uniforme e homogêneo e possuem pesos desprezíveis. No ponto D, há uma carga concentrada, paralela à direção do eixo x, da direita para esquerda, de 20 kN, e, no ponto E existe uma carga concentrada, paralela à direção do eixo y, de cima para baixo, de 30 kN. Determine:
a) as componentes da reação do apoio A em kN;
b) as componentes da reação do apoio B em kN;
c) as barras que possuem forças de tração, indicando os módulos destas forças em kN;
d) as barras que possuem forças de compressão, indicando os módulos destas forças em kN.
Gabarito:
Resolução:
Analisando o nó E, supondo que as barras DE e FE estejam tracionadas:
Note que essas são as forças aplicadas pelas barras no nó!!
Por pitágoras, podemos descobrir que a barra DE tem comprimento 13.
Assim, e
Se o nó está equilibrado, na direção vertical temos para cima a componente Fdesen(a), e a carga de 30kN para baixo.
Logo,, logo Fde = 78kN e a barra DE está tracionada.
E na direção horizontal temos
Sendo assim, Ffe = -72 kN. Já que encontramos esse sinal negativo, temos que a barra FE está na verdade sendo comprimida.
Agora analisaremos o nó D, supondo as barras DF e DC tracionadas:
b é o ângulo complementar ao ângulo a da primeira análise, logo sen(b) = 12/13 e cos(b) = 5/13.
O triângulo DCF é retângulo isósceles com hipotenusa DC, logo o ângulo c da imagem vale 45º. Portanto
Do equilíbrio na horizontal:
, e a barra DC está tracionada de fato.
Do equilíbrio na vertical:
Logo , e a barra DF está comprimida, contrário à nossa suposição inicial da análise.
Vamos agora analisar o nó F, considerando as 4 barras conectadas comprimidas( já analisamos EF e DF que já encontramos como sendo assim):
Do equilíbrio nas respectivas direções Fdf = Faf e Ffe = Fcf.
Faf = 122 kN;
Fcf = 72 kN;
Agora vamos analisar o Nó C, supondo AC e BC tracionadas:
Perceba que o ângulo d é 45, pois é interno ao triângulo DCF.
E que o triângulo CAB é isósceles, sendo assim a altura relativa ao lado AB é bissetriz do ângulo e.
Tal que podemos separar o triângulo usando a altura, de tal forma que dividimos o ângulo ao meio.
Com essa divisão, obtemos 2 triângulos retângulos de catetos 5 e 12.
Logo, as hipotenusas(AC) e (BC) valem 13;
Disso obtemos: cos(e/2) = 12/13 e sen(e/2) = 5/13.
Do equilíbrio na vertical:
Do equilibrio na horizontal
Do sistema entre (I) e (II) obtemos:
Fac = 23,9 kN e Fbc = 75,9 kN, ambas as barras estando tracionadas.
Agora analisamos o apoio A:
Note que o ângulo em azul é igual ao ângulo e/2, por serem alternos internos.
Do equilíbrio na horizontal,
Do equilíbrio na vertical,
Analisando o apoio B:
Note que esse ângulo em azul também é igual ao ângulo e/2, pelo mesmo argumento anterior.
Assim, do equilíbrio na horizontal,
Do equilíbrio na vertical,
a) as componentes da reação do apoio A em kN:
Fax tem módulo 9,2 kN, horizontal e para a esquerda;
Fay tem módulo 100 kN, vertical e para cima.
b) as componentes da reação do apoio B em kN:
Fbx tem módulo 29,2 kN, horizontal e para a direita;
Fby tem módulo 70 kN, vertical e para baixo;
c) as barras que possuem forças de tração, indicando os módulos destas forças em kN:
DE - 78 kN;
DC - 130,1 kN;
AC - 23,9 kN;
BC - 75,9 kN;
d) as barras que possuem forças de compressão, indicando os módulos destas forças em kN:
EF - 72 kN;
DF - 122 kN;
FC - 72 kN;
AF - 122 kN;