Questão 10

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

A atmosfera densa de um planeta hipotético possui um índice de refração dependente das condições meteorológicas do local, tais como pressão, temperatura e umidade. Considere um modelo no qual a região da atmosfera é formada por K + 1 camadas de índice de refração diferentes, n₀,n₁, ..., n_k de 1 KM de altura cada, onde o índice de refração decai 10% a cada quilômetro de aumento na altitude.

Considerando somente os efeitos da reflexão e da refração na atmosfera, se um raio luminoso, proveniente de um laser muito potente for disparado da superfície do planeta, formando um ângulo de 60º com a tangente à superfície, verifique se este raio alcançará o espaço, e, em caso negativo, determine qual será a altitude máxima alcançada pelo raio.

Dados:

- o planeta é esférico com raio Rp = 6.370 km;

- log₁₀ (9) = 0,95 e log₁₀(2) = 0,3 e

- K = 9

Gabarito:

Resolução:

Como o raio do planeta é muito maior que a altura de cada camada, podemos aproximar a situação para interfaces paralelas.

Dessa forma, teremos sucessivas refrações sendo que o índice de refração diminui 10% de uma camada para a outra.

Pela lei de Snell:

$n_{0} sen(30^{circ}) = n_{1} sen(r_{1})$

Na segunda refração teremos $n_{1} sen_{r_{1}} = n_{2}sen (r_{2})$

Na terceira teremos $n_{2} sen (r_{2}) = n_{3} sen (r_{3})$

E assim sucessivamente.

Logo, $n_0sen(30^circ) = n_ksen( heta_k)$

As refrações só deixam de acontecer caso aconteça a reflexão total.

Para isso acontecer é necessário que $sen( heta_{k}) > sen (a_{limite})$ .

O raio adentrou na camada de índice k e sofre reflexão na interface com a camada de índice k+1. Caso ocorra a reflexão total, a altitude máxima alcançada pelo raio será (k +1) km. Caso o ângulo na refração de entrada na camada k seja exatamente o ângulo limite, então teremos uma altitude máxima igual a (k+2) km - o raio que sai rasante na camada k+1 sofrerá reflexão na interface com a camada k+2.

O seno do ângulo limite nesse caso tem valor 0,9 - já que o índice de refração de saída é sempre 90% do índice do meio de incidência.

Dessa forma, para ocorrer a reflexão total buscamos $sen ( heta_k) > 0,9$ ou $sen ( heta_k) = 0,9$ .