Questão 2
IME 2017
(IME - 2017/2018 - 2ª FASE ) Uma partícula carregada tem sua posição no sistema de eixos XY regida pelas seguintes equações temporais, que expressam, em metros, as coordenadas X e Y da partícula em função do tempo t
Dados:
- carga da partícula: +4 x 10-4 C, e
- constante de Coulomb: 9 X 109
Determine:
a) a equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula;
b) o comprimento da curva formada por todos os pontos por onde a partícula passa;
c) o tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos os pontos da curva do item anterior;
d) as coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da partícula é nula;
e) o gráfico do módulo da força elétrica sofrida por uma segunda partícula de mesma carga, fixada na origem, em função do tempo;
f) o gráfico da função Q do vetor força magnética Fm à qual estaria submetida a partícula, caso houvesse um campo magnético positivo e paralelo ao eixo Z ortogonal ao plano XY onde:
Gabarito:
Resolução:
a) a equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula;
Para determinar a equação da curva da trajetória, precisamos encontrar y(x) a partir das equações paramétricas.
Elevando x(t) e y(t) ao quadrado e somando-os:
x²(t) + y²(t) = 1+cos²(t) - sen²(t) + 2 +2sen²(t).
Sabendo que cos²(t) + sen²(t) = 1, podemos simplificar a expressão para:
x² + y² = 4.
Isso representaria uma circunferência centrada na origem com raio igual a 2.
Essa curva contém, com certeza, a trajetória da partícula.
b) Nem todos os pontos da curva encontrada acima pertencem à trajetória, isto pois x(t) e y(t) são funções limitadas.
Usando os conhecimentos de trigonometria podemos escrever que , logo
.
E podemos escrever , logo
.
Note que podemos destacar na curva os pontos (x,y) que limitam a oscilação da partícula ao longo do tempo.
A partícula oscila seguindo a circunferência da alternativa a, entre os pontos e
.
Pensando na circunferência centrada na origem O, OA forma um ângulo de 45º com a horizontal, e OB forma 90º com a horizontal.
Dessa forma, podemos inferir que o comprimento da trajetória é igual a C, tal que .
c) Para descobrir o tempo que leva para percorrer todos os pontos vamos analisar os instantes de tempo que fazem com que a partícula esteja nos extremos da trajetória:
Buscamos descobrir os instantes que solucionam x(t) = 0, e x(t) = √2.
Para a primeira opção temos , logo cos(2t) = -1.
Portanto, .
Sendo asssim, .
Para a segunda opção temos , logo cos(2t) = +1.
Portanto, .
O tempo mínimo pedido é encontrado fazendo |t1 - t2|, pensando que estamos na mesma volta, portanto usamos o mesmo valor de k nos dois casos.
.
d) O movimento da partícula é oscilatório sendo os extremos da oscilação os pontos A e B já citados acima.
Nos extremos da oscilação acontece inversão do movimento, portanto é lógico pensar que nestes pontos a velocidade deve ser nula.
Mas, ao analisarmos a derivada temporal da função x(t) para os instantes em que a partícula deveria estar em B, que representaria a velocidade na direção x em tais pontos, encontramos uma indeterminação. Sendo assim, o movimento descrito por essa equação não permite definir como nula a velocidade no ponto B, apenas no ponto A teríamos a velocidade nula.
e) Se a segunda carga estiver na origem, dado que a nossa partícula oscila num arco de circunferência centrado na origem, podemos afirmar que a distância entre as cargas é sempre constante e igual a 2 m. Portanto, o módulo da força elétrica é sempre constante com módulo dado pela Lei de Coulomb:
E o gráfico será:
f) A função Q é dada no enunciado, basta apenas desenhar o gráfico observando os degrais. O eixo x utilizado representa a fase da função força magnética:
Observe que, pelo que é dito no enunciado, a direção da força terá sempre sentido para o centro da origem do sistema de coordenadas.