Questão 4

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

A figura acima mostra um dispositivo composto por um motor elétrico, cujo eixo se encontra ligado a uma polia ideal de raio R, solidária a uma segunda polia de raio r , sem deslizamento. Solidário ao segundo eixo há um disco rígido metálico de raio r . Em duas extremidades opostas deste disco, foram fixados dois pêndulos compostos idênticos, com fios ideais e esferas homogêneas, de massa m. Existe um fio extensível ligando as esferas inferiores, provendo uma força elástica $F_{elastica}$ que as mantém na configuração mostrada na figura. Determine, em função de g, m, r e R:

a) a velocidade angular ω do motor elétrico;

b) a força elástica $F_{elastica}$ do fio extensível.

Dado:

• aceleração da gravidade: g .

Gabarito:

Resolução:

As duas polias compartilham a mesma velocidade linear:

Dessa forma podemos escrever que $omega R = omegar (I)$ , em que $omega$ é a velocidade angular da polia de raio r e também é a velocidade angular do disco onde ligaram-se os fios.

Podemos pensar em cada corpo isoladamente, girando com velocidade angular $omega$ .

Para isso, a resultante das forças sobre eles na vertical é nula, e há resultante centrípeta na horizontal.

Corpo mais acima:

Na vertical:

$T_1sen(60^circ) = mg + T_2sen(60^circ) (II)$ .

Na horizontal:

$F_{ctp} = T_1cos(60^circ) - T_2cos(60^circ) (III)$ .

Corpo inferior:

Na vertical:

$T_2sen(60^circ) = mg (IV)$ .

Na horizontal:

$F_{ctp_{2}} = F_{ela} + T_2cos(60^circ) (V)$ .

Substituindo a equação IV na equação II obtemos:

$\T_1sen(60^circ) = mg + mg\\ T_1 = frac{2mg}{sen(60^circ)} (VI)$

Substituindo VI e IV na equação III:

$F_{ctp_{1}} = frac{2mgcos(60^circ)}{sen(60^circ)} - frac{mgcos(60^circ)}{sen(60^circ)}$

$F_{ctp_{1}} = frac{mg}{tg(60^circ)} (VII)$ .

Falta descobrir o raio da trajetória 1, para isso usamos o seguinte esquema:

Desse esquema podemos notar que:

R₁ = 4rcos(60º) + r.

R₁ = 2r + r = 3r.

Podemos escrever então que:

$F_{ctp_{1}} = momega^2R_1 = 3momega^2r (VIII)$

Comparando VIII e VII:

$3momega^2r = frac{mg}{tg(60^circ)}$ .

$omega = sqrt{frac{g}{3sqrt3r}} (IX)$ .

Substituindo IX em I:

$omega = sqrt{frac{g}{3sqrt3r}}cdotfrac{r}{R} = frac{1}{R}cdot sqrt{frac{gr}{3sqrt3}}$ .

Para o corpo inferior podemos descobrir o raio da circunferência descrita usando o seguinte esquema:

R₂ = 10cos(60º) +r.

R₂ = 6r.

Das equações IV e V, e sabendo que F_ctp2 = mw'²R₂:

$momega^2R_2 = F_{ela} + frac{mg}{tg(60^circ)}$

$F_{ela} = momega^2R_2 -frac{mg}{tg(60^circ)}$

Substituindo w' e R₂:

$F_{ela} = frac{6mrg}{3sqrt3r} - frac{mg}{tg(60^circ)}$

$F_{ela} = frac{6mg}{3sqrt3} - frac{mg}{sqrt3} = frac{mg}{sqrt3}$

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