Questão 2

IME 2018

Física

(IME - 2018/2019 - 1ª FASE)

Uma lanterna cilíndrica muito potente possui uma lente divergente em sua extremidade. Ela projeta uma luz sobre um anteparo vertical. O eixo central da lanterna e o eixo principal da lente estão alinhados e
formam um ângulo de 45º com a horizontal. A lâmpada da lanterna gera raios de luz paralelos, que encontram a lente divergente, formando um feixe cônico de luz na sua saída. O centro óptico da lente O está, aproximadamente, alinhado com as bordas frontais da lanterna. A distância horizontal entre o foco F da lente e o anteparo é de 1 m. Sabendo disto, pode-se observar que o contorno da luz projetada pela
lanterna no anteparo forma uma seção plana cônica. Diante do exposto, o comprimento do semieixo maior do contorno dessa seção, em metros, é:

Dados:
• a lente é do tipo plano-côncava;
• a face côncava está na parte mais externa da lanterna;
• diâmetro da lanterna: d = 10 cm;
• índice de refração do meio externo (ar): 1;
• índice de refração da lente: 1,5;
• raio de curvatura da face côncava: 2,5 √3 cm.

3√2

(√3 − 1)

(√3 + 1)

√3

2√3

Gabarito:

√3

Resolução:

Da lente = $egin{Bmatrix} R1 = frac{-5 sqrt{3}}{2}cm (Côncova)\ R2 = infty end{Bmatrix}$ $ightarrow Eq. dos fabricantes: \ frac{1}{f} = (frac{n_{lente}}{n_{meio}}-1)(frac{1}{R_{1}} + frac{1}{R_{2}}) ightarrow frac{1}{f}= (frac{1,5}{1}-1) cdot (frac{-2}{5sqrt{3}}-0) f = -5sqrt{3}$

Do triângulo foco o 0:

→ $tg heta = frac{5}{|f|}= frac{5}{5sqrt{3}} ightarrow heta=30^{o}$

Do desenho, $tg(45^{o} - heta)$ = $tg(15^{o})= frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}-1} = frac{H}{1} ightarrow H = frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}-1}$

Também do desenho $Delta FBC$ , $tg(45^{o}+ heta)=frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1}=2a + H ightarrow H=frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1}-2a=frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}+1} ightarrow 2a = frac{(sqrt{3}+1)(sqrt{3}+1)-(sqrt{3}-1)(sqrt{3}-1)}{3-1} ightarrow a = frac{4+2sqrt{3}-4+2sqrt{3}}{2cdot 2}$

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