Questão 5

IME 2018

Física

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

O circuito da figura acima possui potencial V > 0 em seu nó central. Esse circuito estende-se em direção ao infinito, com suas resistências sendo reduzidas à metade, gradativamente, e as capacitâncias todas iguais a C. Enquanto isso, o potencial vai se reduzindo também em direção ao infinito até atingir o valor nulo. Considerando um tempo infinito de funcionamento do circuito, determine a energia total armazenada nos capacitores.

Gabarito:

Resolução:

Pela simetria, os resistores marcados não funcionam.

Retirando eles do circuito, teremos:

No equilíbrio, os capacitores estarão carregados e, desse modo, passará corrente apenas nos resistores que estão nas diagonais.

Logo:

Desse modo, teremos:

$Delta V=V-0=(R+frac{R}{2}+frac{R}{4}+...).i$

Substituindo:

$(R+frac{R}{2}+frac{R}{4}+...) = frac{R}{1-frac{1}{2}}=2R$

Temos que:

$i=frac{V}{2R}$

E os DDPs entre cada capacitor estarão em PG, onde:

$V_1 - V_2=frac{R}{2}.frac{V}{2R}=frac{V}{4}$

$V_2-V_3=frac{V}{8}$

$V_3-V_4=frac{V}{16}$

Desse modo, a energia total armazenada será de:

$E=8.left [ frac{c}{2}left ( (V_1-V_2)^2+(V_2-V_3)^2+(V_3-V_4)^2+... ight) ight ]$

$E=4CV^2left [ frac{1}{4^2}+frac{1}{8^2}+frac{1}{16}+... ight ]$

$E=frac{4CV^2}{4^2}left [ 1+frac{1}{4}+frac{1}{16}+... ight ]$

Substituindo:

$E=left [ 1+frac{1}{4}+frac{1}{16}+... ight ] = frac{1}{1-frac{1}{4}}=frac{4}{3}$

Temos que:

$E=frac{4CV^2}{4^2}.frac{4}{3}$

$Emathrm{total}=frac{CV^2}{3}$

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