Questão 10

IME 2018

Física

(IME - 2018/2019 - 2ª FASE)

A figura acima mostra um sistema em equilíbrio composto por três corpos presos por tirantes de comprimento L cada, carregados com cargas iguais a Q. Os corpos possuem massas m₁ e m₂, conforme indicados na figura. Sabendo que o tirante conectado à massa m₂ não está tensionado, determine os valores de m₁ e m₂ em função de k e Q.

Dados:

constante dielétrica do meio: k [Nm²/C²];
carga elétrica dos corpos: Q [C];
comprimento dos tirantes: L = 2 m;
altura: $h = (2 - frac{sqrt 3}{3}) mathrm{m}$ ;
aceleração da gravidade: g = 10 m/s²; e
a = 30º

Gabarito:

Resolução:

i) $overline{BP}$ = 2 M

$overline{PC}$ = h = (2 + $left ( 2 + frac{sqrt{3}}{3} ight )$ m

Relacionando: $overline{ BC}$ = $overline{ BP}$ - $overline{ PC}$ = 2 - 2 + $frac{sqrt{3}}{3}$ = $frac{sqrt{3}}{3}$

De AVC : $overline{AC}$ = $overline{AV}$ . sen $propto$ = 2 . sen 30º = 2 . $frac{1}{2}$ = 1 m

De ABC: $overline{AB} ^2$ = $overline{BC} ^2$ + $overline{AC} ^2$

$overline{AB} ^2$ = $frac{1}{3}$ + 1 = $frac{4}{3}$

AB = 2. $frac{sqrt{3}}{3}$ m

assim, sen $eta$ = $frac{overline{BC}}{overline{AB}}$ = $frac{sqrt{3 / 3}}{2sqrt{3 / 3}}$ = $frac{1}{2}$

logo $eta$ = 30º

ii) Das esferas de massa m_1:

Decompondo as forças no eixo x e y:

eixo y: T . cos 30º = P₁+ F_{1 .}. sen 30º

$frac{sqrt{3}}{2}$ . T = P₁+ F₁. $frac{1}{2}$ $Rightarrow$ T = $frac{2 sqrt{3}}{3}$ $left ( P_{1} + frac{F_{1}}{2} ight )$

eixo x: T. sen 30º = F₂+ F₁. cos 30º

T. $frac{1}{2}$ = F₂+ F₁ $frac{sqrt{3}}{2}$ $Rightarrow$ T = 2 F₂+ $sqrt{3}$ F₁

Igualando 1 e 2:

$2frac{sqrt{3}}{3}$ P₁+ $frac{sqrt{3}}{3}$ F₁= 2 F₂+ $sqrt{3}$ F₁

P₁= $sqrt{3}$ F₂+ F₁

2) Sendo F₂a força de repulsão das massas m₁e F₁ a força de repulsão entre m₁ e m₂,

F₁ = $frac{K Q^{2}}{overline{AB}^2}$ = $frac{K Q^{2}}{(frac{2}{sqrt{3}})^2}$ = K Q^{2 .} $frac{3}{4}$

F₂= $frac{K Q^{2}}{2 overline{AC}^2}$ = $frac{k Q^{2}}{(2.1)^2}$ = $frac{K Q^2}{4}$

assim, P₁= m₁ . g = $frac{(sqrt{3}+3)}{4}$ K Q² $Rightarrow$ m₁ = $frac{(sqrt{3}+3)}{40}$ K Q²

iii) Da esfera de massa m₂:

Do eixo y: 2. F_{1 .}sen 30º = P₂

$2 cdot 3frac{K.Q^{2}}{4} cdot frac{1}{2} = m_2 cdot g Rightarrow m_2 = frac{3KQ^2}{40}$

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