Questão 12
IME 2019
(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)
Um feixe de luz hipotético, mostrado na figura acima, propaga-se ao longo do plano em um meio não homogêneo, cujo índice de refração é função da coordenada
. Considerando que o feixe tangencia o eixo
no ponto
, onde
. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é
, o valor máximo absoluto possível da componente
para a velocidade do feixe passível de ser atingida é:
Gabarito:
Resolução:
Supondo um ângulo ( heta) com um eixo vertical paralelo ao eixo y temos que a velocidade na direção y será (v_y = vcos( heta) (I)).
No ponto (0,0) a velocidade é horizontal, ( heta = 90º), e pela Lei de Snell podemos escrever o seguinte para um próximo ponto y:
(n_0sen(90º) = n(y)sen( heta(y)))
Mas da definição de índice de refração temos:
(n = frac{c}{v})
Então podemos escrever:
(\n_0 = frac{csen( heta)}{v} Rightarrow \\ v = frac{csen( heta)}{n_0} (II))
Substituindo (II) em (I) temos:
(v_y = frac{csen( heta)cos( heta)}{n_0} )
Mas temos a relação trigonométrica (frac{sen(2 heta)}{2} = sen( heta)cos( heta))
Assim podemos reescrever a velocidade na direção y como sendo
(v_y = frac{csen(2 heta)}{2n_0})
Essa função tem máximo quando (sen(2 heta) = 1), logo (v_{y_{max}} = frac{c}{2n_0}).