Questão 4

IME 2020

Física

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Certa máquina térmica, operando em ciclo termodinâmico entre dois reservatórios com temperaturas de 600 K e 300 K, fornece a potência necessária para o acionamento de motores em uma fábrica, conforme apresentado na figura 1. Devido a aspectos ambientais, ela deverá ser retirada de atividade, mas o corpo técnico realizou um estudo inicial e concluiu que ela poderia ser reaproveitada com a introdução de um reservatório térmico intermediário de 400 K, conforme a figura 2. Dentro dessa proposição, o grupo propõe que se trabalhe com dois ciclos termodinâmicos em série, sendo que o ciclo superior deverá produzir uma potência de 40 HP, enqaunto que o ciclo inferor disponibilizará uma potência menor não especificada. O setor financeiro argumentou que a conversão proposta só seria economicamente viável se a potência associada ao ciclo inferior for no mínimo 10% do ciclo original e se o consumo diário do novo combustível, que alimentará o motor térmico do ciclo superior, estiver limitado a 500 litros.

Dados:

rendimento da máquina térmica no esquema original: 90% do máximo teoricamente admissível;
taxa de transferência de calor do reservatório térmico para a máquina térmica no esquema original: 540 MJ/h;
rendimentos das máquinas térmicas superior e inferior para a modificação proposta: 90% e 80% do máximo teoricamente admissível, respectivamente;
tempo de operação diário das máquinas com a modificação proposta: 8 horas;
massa específica e poder calorífico do novo combustível: 0,12 kg/L e 50MJ/kg;
taxa de energia empregada para o acionamento da máquina térmica inferior: 60% da taxa rejeitada pela máquina térmica superior; e
Considere 1 HP = 3/4 kW.

Observação:

a taxa de calor recebida pela máquina térmica superior é proveniente da queima do novo combustível a ser empregado e o poder calorífico é definido como a quantidade de energia liberada no processo de combustão por unidade de massa.

Baseado em uma análise termodinâmica do problema e nos dados acima, verigique se as condições do setor financeiro são atendidas. Em sua análise, expresse todas as potências em HP.

Gabarito:

Resolução:

Pela texto podemos notar que o ciclo inferior deve ser no mínimo igual a 10% do ciclo original, então vamos calcular essa potência do ciclo original e a potencia teorica máxima admitida será se pensarmos que esse processo é um ciclo de Carnot:

$eta =1- frac{Tf}{Tq} Rightarrow eta = 1- frac{1}2=0.5$

Sabendo que a máquina tem 90% do rendimento máximo teorico então devemos fazer 90% de 0,5:

$eta _{real}= (0,5)(0,9)=0,45$

Como a potencia transferida é 540MJ/h então a potencia original da máquina vale: (lembrando de converter 540MJ/h para J/s=w

$P_{original}=0,45(150kW).$

Sabendo que 1 HP = 0,75 kW: $P_{original}= 90 HP.$

Agora vamos fazer a mesma analise para o ciclo superior:

$eta _{superior}= 1-frac{400}{600}=0,33$

Como o rendimento da máquina superior é 90% do ideal temos:

$eta _{superior}=0,33(0,9)=0,3$

Ou seja 70% da potência vai para o reservatório intermediário. Desta quantia, 60% é empregada no acionamento da máquina inferior. Ou seja, apenas 42% do total. Fazendo uma regra de três se 40HP é 0,3 então 0,42 vale 56HP, que é a potência que chega para a máquina inferior.

Agora vamos analisar o ciclo inferior:

$eta _{inferior}=1- frac{300}{400}=0,25$

Como o rendimento real é 80% do ideal temos;

$eta _{inferior}=0,25(0,8)=0,2$

Aplicando esse rendimento na potência que chega:

$P=56(0,2)=11,2 HP$

E essa potencia é maior do que 10% da original.

Agora, vamos analisar o consumo de combustível para a máquina superior. Não podemos exceder o consumo de 500 L. Então, dado que a massa específica é 0,12 kg/L, não podemos exceder o consumo de 60 kg de combustível.

Isso implica que o máximo de energia que podemos ceder à máquina superior é dada por: E = 60 kg.50 MJ/kg = 3 GJ.

Como a máquina funciona por 8 horas, a potência cedida seria $P_{entrada} = frac{30GJ}{8cdot3600s} approx 104 kW$ .