Questão 6

IME 2021

Física

(IME - 2021/2022)

Um aluno está em uma nave (referencial $S$ ) que viaja a uma velocidade $v$ relativa ao professor (referencial $S$ ). Em t = t' = 0 (tempo em cada um dos referenciais), a nave passa pelo professor e o aluno inicia uma prova de física. Em $t = au$ , um pulso de luz é emitido pelo aluno até o professor e é refletido de volta a nave, quando entãao a prova é encerrada. Sabendo que a velocidade da luz é $c$ e que $y = 1 / sqrt {1-v^2/c^2}$ , a duração da prova no referencial do professor é:

$y au / (1-v/c)$

$(1+v/c)y au$

$y au/(1+v/c)$

$y au(1-v/c) / (1+v/c)$

$y au(1+v/c) / (1-v/c)$

Gabarito:

$y au(1+v/c) / (1-v/c)$

Resolução:

Considerando que o professor Quando o pulso é emitido pelo aluno, no referência do professor, estamos no instante $t = gamma au$ .

O aluno emite esse pulso na posição s'_emissão = vt', no referencial do professor.

O pulso leva um intervalo de tempo t1, no referencial do professor para chegar até ele, tal que t₁ = vt'/c.

Depois o pulso é refletido e irá ao encontro da nave. No momento da reflexão, a nave estava na posição s'_reflexão = vt' + vt₁ e continua se movimentando com velocidade v, no referencial do professor.

Portanto, após um intervalo de tempo t₂ após a reflexão temos: s'_nave = vt' + vt₁ + vt₂, representando a posição da nave.

E s'_sinal = ct₂, representando a frente de onda refletida.

Para que o sinal chegue na nave, precisamos que s'_nave = s'_sinal, logo:

vt' + vt₁ + vt₂ = ct₂.

$vgamma au + frac{v^2gamma au}{c} = t_2(c-v)$ .

$frac{vgamma au(1 + frac{v}{c})}{(c-v)}= t_2$

Isso implica que o tempo total de duração da prova no referencial do professor é:

$t +t_1 + t_2 = gamma au + frac{v gamma au}{c} + frac{vgamma au (1 + frac{v}{c})}{(c-v)}$

$t_{total}= gamma au(1 + frac{v}{c} + frac{(v+v^2)}{c(c-v)})$

$t_{total}= gamma au(frac{c(c-v) + v(c-v) + (v+v^2)}{c(c-v)})$

$t_{total}= gamma au(frac{c^2-cv + cv-v^2 +v +v^2)}{c(c-v)})$

$t_{total}= gamma au(frac{(c^2 +v)}{c(c-v)}) = gamma au(frac{(c +frac{v}{c})}{(1-frac{v}{c})})$ .

Alternativa E.

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