Questão 7

IME 2021

Física

(IME - 2021/2022)

Um bloco cúbico homogênio de aresta L parte do repouso em uma rampa de altura h. O bloco desliza sem atrito até que seu vértice P alcance a coordenada x = 0 em uma suprefície plana.

Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é $mu$ para $x geq 0$ , a coordenada $x_p$ do vértice P em que o bloco estaciona, considerando que $x_p geq L$ , é:

$frac {h}{mu } + frac L2$

$frac {h}{mu}- frac L2$

$sqrt {frac {hL}{mu}} + frac L2$

$sqrt {frac {2hL}{mu}}$

$frac h mu$

Gabarito:

$frac {h}{mu } + frac L2$

Resolução:

Por conservação da energia mecânica, nos pontos inicial (com altura igual a h) e final (com altura igual a 0 e x = 0):

$ext{Energia mecanica inicial = Energia mecanica final:}\ E_{c;inicial}+E_{pot;inicial}=E_{c;final}+E_{pot;final}\frac{mV_i^2}{2}+mgh_i=frac{mV_f^2}{2}+mgh_f\$

$frac{mcdot0^2}{2}+mgh=frac{mV_f^2}{2}+mgcdot0\mgh=frac{mV_f^2}{2}\ herefore underline{V_f=sqrt{2gh}}$

Com isso, teremos que a energia mecânica no ponto x = 0 é igual a $E = frac{mcdot(sqrt{2gh})^2}2 = mgh$

Como o bloco irá parar na coordenada x = x_P, isso significa que, nesse ponto, toda a sua energia mecânica terá sido dissipada (ou seja, o módulo do trabalho exercido pela força de atrito será igual ao módulo da energia mecânica no ponto x = 0). Dessa forma, devemos dividir esse fenômeno em duas partes: quando o bloco não está inteiramente dentro da superfície rugosa e quando o bloco se encontra totalmente sobre ela:

Quando não está totalmente sobre a superfície rugosa (x entre 0 e L):

Força de atrito cresce linearmente com a sua aresta que está na superfície: $left.egin{matrix} Fat=frac{mgmucdot x}{L}\W_{at}overset{N}= acute Areaend{matrix} ight}egin{matrix} W_{at}=frac{Fatcdot L}2=frac{mgcdot x}{2}\Para;x=L:\underline{W_{at}=frac{mgL}2} end{matrix}$

$left.egin{matrix} ext{Energia mecanica:};E=mgh\ ext{Trabalho da forca de atrito (para o bloco totalmente sobre a superficie rugosa):};W_{at}=F_{at}cdot dcdotcos heta=mgmucdot(x_P-L)cdot1\W_{at;Total}=mgmu(x_P-L)+frac{mgmu L}{2}=mgmu(x_P-frac L2) end{matrix} ight}{egin{matrix} E-W_{at;Total}=0\mgh-mgmu(x_P-frac L2)=0\ ot m ot gcdot mu (x_P-frac L2) = ot m ot gh\x_P-frac L2=frac hmu\ herefore {oxed{mathbf{x_P=frac hmu+frac L2}}} end{matrix}}$

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