Questão 8233

INSPER 2011

Matemática

(Insper 2011) Um quadrado de lados medindo 1cm sofre uma rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é x cm, como mostra a figura.

O gráfico que melhor representa a área total S do sólido gerado por essa rotação, em cm², em função de x, para x ≥ 0, é

Gabarito:

Resolução:

Para se calcular a área total, devemos somar a área das duas coroas acima e abaixo formadas, a área lateral interna e a área lateral externa.

Definindo o raio interno como sendo x e o raio externo como x+1, teremos:

Área total = área das coroas + área lateral interna + área lateral externa

$A_{t}(x)=2* (pi (x+1)^{2}-pi x^{2}) + 2 pi x*1 + 2 pi (x+1)*1$

Resolvendo, teremos:

$A_{t}(x)=8 pi x + 4 pi$

Logo, o gráfico deve ser uma reta. Para x=0, a área total deve ser 4 pi.
Para x=1, a área total deve ser 8pi + 4pi = 12pi
Logo, a reta que contém esses pontos é a da alternativa E.

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