Questão 7963

ITA 1971

Matemática

(ITA - 71) Dividindo o polinômio P(x) = x³ + x² + x + 1 pelo polinômio Q(x) obtemos o quociente S(x) = 1 + x e o resto R(x) = x + 1. O polinômio Q(x) satisfaz

Q(2) = 0

Q(3) = 0

Q(0) ≠ 0

Q(1) ≠ 0

nenhuma das anteriores.

Gabarito:

Q(1) ≠ 0

Resolução:

Resolução 1:

1) Analisando o enunciado, temos que:

$Pleft(x ight)=Qleft(x ight)cdot Sleft(x ight)+Rleft(x ight)$

$x^3 + x^2 + x + 1=Qleft(x ight)cdot (1 + x)+x + 1$

2) Desenvolvendo:

$Qleft(x ight)=frac{x^3 + x^2 + x + 1-x - 1}{1 + x}=x^2$

3) Logo,

$Qleft(0 ight)=0$

$Qleft(1 ight)=1$

$Qleft(2 ight)=4$

$Qleft(3 ight)=9$

Resolução 2:

$D(x)equiv d(x)cdot Q(x)+R(x)$

$x^3+x^2+x+1equiv Q(x)cdot (1+x)+x+1$

Quando x = 2:

$2^3+2^2+2+1equiv Q(2)cdot (1+2)+2+1;;;;;;;Rightarrow Q(2)=4$

Quando x = 3:

$3^3+3^2+3+1equiv Q(3)cdot (1+3)+3+1;;;;;;;Rightarrow Q(3)=9$

Quando x = 0:

$0^3+0^2+0+1equiv Q(0)cdot (1+0)+0+1;;;;;;;Rightarrow Q(0)=0$

Quando x = 1:

$1^3+1^2+1+1equiv Q(1)cdot (1+1)+1+1;;;;;;;Rightarrow Q(1)=1$

Questão 7963

ITA 1971

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