Questão 12605

ITA 1974

Matemática

(ITA - 74) O valor absoluto da soma das duas menores raízes da equação

é:

A

B

C

D

E

nenhuma das respostas anteriores

Gabarito:

Resolução:

1)Falando que: $x+frac{1}{x} = a$ ,

temos :

$a^2 = x^2 + frac{1}{x^2} +2 = > x^2 + frac{1}{x^2} = a^2 - 2$

Nossa nova equação então é: $a^2 + a - 6 = 0$

2) Encontrando as raízes da nova equação:

$a_1 + a_2 = -1 , a_1 cdot a_2 = - 6$ , então

$a_1 = -3 e a_2 = 2$

3)Agora voltamos a equação inicial:

$x+frac{1}{x} = a = > x^2 -ax + 1 = 0$

$ullet x^2 -(-3)x + 1 = 0$

$x_1 = frac{-3 + sqrt{5}}{2} e x_2 = frac{-3 - sqrt{5}}{2}$

$ullet x^2 -(2)x + 1 = 0$

$x_3 + x_4 = 2 e x_3 cdot x_4 = 1$ , então

$x_3 = 1 e x_4 = 1$

4) Observamos que as menores raízes são $x_1 e x_2$ , pois ambas apresentam valores negativos.

Ficamos então com:

$|x_1 + x_2| = left | frac{-3 + sqrt{5}}{2} +frac{-3 - sqrt{5}}{2} ight|$

$= left | frac{-3}{2} ight |$

$= 3$

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