Questão 6206

Matemática

(ITA-77) Considere a função $f(x)=|x^2-1|$ definida em . Se $fcirc f$ representa a função composta de f com f, então:

$(fcirc f)(x)=x|x^2-1|$ , para todo x real

não existe número real y, tal que $(fcirc f)(y)=y$

$fcirc f$ é uma função injetora

$(fcirc f)(x)=0$ , apenas para dois valores reais de x

nenhuma das anteriores

Gabarito:

nenhuma das anteriores

Resolução:

Observe que $(x^2-1)^2 geq 0 herefore left | (x^2-1)^2 ight |=(x^2 -1)^2$ . Logo:

$FoF(x)=left |(x^2-1)^2-1 ight | ightarrow FoF(x)= | x^4 -2x^2 +1 -1| ightarrow$ $FoF(x)=| x^4-2x^2| ightarrow FoF(x)=|x^2|cdot |x^2-2|$

Novamente, como $x^2 geq 0 herefore |x^2|=x^2$ Então: $FoF(x)=x^2cdot|x^2-2|$

Logo, alternativa incorreta.

b) Para que $FoF(y)=y$ , devemos ter : $y^2cdot|y^2-2|=y ightarrow ycdot(ycdot|y^2-2|-1)=0$

Então temos : $ycdot(ycdot|y^2-2|-1)=0 Leftrightarrow y=0 ou ycdot|y^2-2|=0$

Encontramos uma solução $y=0$ . Portanto, alternativa incorreta.

c) Se $FoF$ é injetora, $FoF(x_1)=FoF(x_2)Leftrightarrow x_1=x_2$ . Mas observe que $FoF$ é uma função par, pois

$FoF(-x)=(-x)^2cdot |(-x)^2-2|=x^2cdot|x^2-2|=FoF(x), forall x in mathbb{R}$ . Então, $FoF$ não é injetora. Alternativa incorreta.

d) $FoF(x)=0 ightarrow x^2cdot |x^2-2|=0Leftrightarrow x^2=0 ou |x^2-2|=0$

$Rightarrow x=0 ou x^2-2=0Rightarrow x=0 ou x=sqrt2 ou x=-sqrt2$ . Temos três valores de $x$ para os quais $FoF(x)=0$ . Alternativa incorreta.

Então, ficamos com a letra e)