Questão 40461

ITA 1996

Física

(Ita 1996) O valor da indução magnética no interior de uma bobina em forma de tubo cilíndrico é dado, aproximadamente, por $B= mu ni$ onde $mu$ é a permeabilidade do meio, n o número de espiras por unidade de comprimento e i é a corrente elétrica. Uma bobina deste tipo é construída com um fio fino metálico de raio r, resistividade $ho$ e comprimento L. O fio é enrolado em torno de uma forma de raio R obtendo-se assim uma bobina cilíndrica de uma única camada, com as espiras uma ao lado da outra. A bobina é ligada aos terminais de uma bateria ideal de força eletromotriz igual a V. Neste caso pode-se afirmar que o valor de B dentro da bobina é:

$frac{mu pi rV}{2 ho L}$

$frac{mu pi RV}{2 ho L}$

$frac{mu pi r^{2}VL}{2 ho}$

$frac{mu pi rV}{2R^{2} L}$

$frac{mu r^{2}V}{2R^{2} L}$

Gabarito:

$frac{mu pi rV}{2 ho L}$

Resolução:

Para obtermos o valor de B ( $B=mu ni$ ):

Corrente: $U=Rcdot i ightarrow i=frac UR$

A resistência R é obtida por um fio metálico, de comprimento L, resistividade ρ e raio r: $R=frac{ ho L}{A}=frac{ ho L}{pi r^2}$

Com isso: $i=frac{U}{R}=frac{V}{frac{ ho L}{pi r^2}} ightarrow i=frac{Vpi r^2}{ ho L}$

Para calcularmos o n (número de espiras por unidade de comprimento), temos de considerar o comprimento de uma espira (2πR), o número total de espiras (N) e o comprimento total do solenoide (d):

Número total de espiras: razão entre o comprimento do fio pelo comprimento de uma espira: $N=frac{L}{comprimento,de,uma,espira} herefore N=frac{L}{2pi R}$

Comprimento do solenoide: d = 2rN (número de espiras vezes o diâmetro do fio metálico, pois este diâmetro determina o comprimento (no sentido longitudinal) de uma espira).
Com isso: $d= 2rN=2rcdotfrac{L}{2pi R}=frac{rL}{pi R}$

Número de espiras por unidade de comprimento: n = N/d: $n =frac{N}{d}= frac{frac{L}{2pi R}}{frac{rL}{pi R}} ightarrow n = frac1{2r}$

Com isso:

$B= mu ni=mucdotfrac1{2r}cdotfrac{Vpi r^2}{ ho L}\ herefore B=frac{mupi rV}{2 ho L}$

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