Questão 6805
ITA 1996
(ITA - 1996) Seja a ∈ IR e considere as matrizes reais 2 × 2,
e
O produto AB será inversível se e somente se:
a2 - 5a + 6 ≠ 0.
a2 - 5a ≠ 0.
a2 - 3a ≠ 0.
a2 - 2a + 1 ≠ 0.
a2 - 2a ≠ 0.
Gabarito:
a2 - 2a ≠ 0.
Resolução:
AB = C é inversível se o determinante de C for diferente de 0.
Temos então que:
det(C) = det(AB) ≠ 0
Pelo teorema de Binet, temos:
det(AB) = det(A) * det(B)
Calculando det(A) e det(B):
det(A) = 32a - 1
det(B) = 2-3 * 7a-1 - 8a-3 * 7
Para que det(AB) ≠ 0, precisamos que det(A) ≠ 0 e que det(B) ≠ 0.
Assim, temos:
det(A) = 32a - 1 ≠ 0 , então
32a ≠ 1 , então
a ≠ 0
e
det(B) = 2-3 * 7a-1 - 8a-3 * 7 ≠ 0 , então
2-3 * 7a-1 ≠ 8a-3 * 7 , então
8-1 * 7a-1 ≠ 8(a-3) * 7
8-(a-2) * 7a-2 ≠ 1
(8-1 * 7)a-2 ≠ 1
(7/8)a-2≠1
A igualdade ocorre somente quando o expoente for zero
a-2 = 0 a = 2
Assim, temos que det(AB) ≠ 0 se a ≠ 0 e a ≠ 2.
A única alternativa em que as soluções são a≠0 e a≠2 é a (e)