Questão 4818

ITA 1998

Física

(Ita 1998) Uma massa m em repouso divide-se em duas partes, uma com massa 2m/3 e outra com massa m/3. Após a divisão, a parte com massa m/3 move-se para a direita com uma velocidade de módulo v₁. Se a massa m estivesse se movendo para a esquerda com velocidade de módulo v antes da divisão, a velocidade da parte m/3 depois da divisão seria:

(1/3 v₁ - v) para a esquerda.

(v₁ - v) para a esquerda.

(v₁ - v) para a direita.

(1/3 v₁ - v) para a direita.

(v₁ + v) para a direita.

Gabarito:

(v₁ - v) para a direita.

Resolução:

Resolução 1:

1) Observando essa questão, podemos concluir que ela foi mal elaborada. Para poder resolvê-la temos que supor que o corpo está isolado e que a energia interna liberada nos dois cados foi a mesma (o enunciado não disse essas informações). Com isso, podemos começar a resolver.

2) Para a 1ª situação:

$Q_{apos} = Q_{antes}$

3) Desenvolvendo:

$frac{mV_1}{3}+frac{2mV_2}{3}=0$

$mV_1+2mV_2=0$

$2mV_2=-mV_1$

$2V_2=-V_1$

$oxed{V_2=-frac{V_1}{2}}$

4) A energia interna foi transformada em mecânica:

$large E_i = frac{m}{6} cdot V_1^2 + frac{m}{3} cdotegin{pmatrix} frac{V_1}{2} end{pmatrix}^2$

$E_i = frac{m}{6} cdot V_1^2 + frac{m}{12} cdot V_1^2 = frac{mV_1^2}{4}$

5) Para a 2ª situação:

$Q_{apos} = Q_{antes}$

6) Desenvolvendo:

$frac{m}{3} v_1 + frac{2m}{3}v_2 = -mV$

$v_1 + 2v_2 = -3V$

$v_2 = -1,5V-0,5v_1$

$E_i = frac{m}{6}(v_1)^2 + frac{m}{3}(v_2)^2 - frac{mV^2}{2}$

8) Substituindo em $v_2$ :

$E_i = frac{m}{6}(v_1)^2 + frac{m}{3}(1,5V+0,5v_1)^2-frac{m}{2}V^2$

9) Igualando a energia interna transformada em mecânica, encontramos:

$frac{mV_1^2}{4} = frac{m}{6}(v_1)^2+frac{m}{3}(1,5V+0,5v_1)^2-frac{m}{2}V^2$

10) Desenvolvendo, encontramos:

$(v_1)^2+2 Vv_1 + V^2 - V^2_1=0$

11) Resolvendo:

$\ v_1=frac{-2Vpm sqrt{4V^2-4V^2+4V^2}}{2} \ \ v_1 = -(V+V_1) ou oxed{v_1 = V_1-V}$

PS: Quando é dito que a velocidade v1 é para direita, podemos concluir que houve uma explosão. Por haver essa explosão a massa m/3 ganha uma quantidade de movimento e isso implica no fornecimento de uma velocidade v1 para direita (sentido adotado como positivo).

PS: Admitir que, em ambos os casos, temos o mesmo fenômeno apenas visto por dois observadores inerciais diferentes, a resolução fica mais simples.

Resolução 2:

Situação I

Quando é dito que a velocidade v1 é para direita, podemos concluir que houve uma explosão. Por haver essa explosão a massa m/3 ganha uma quantidade de movimento e isso implica no fornecimento de uma velocidade v1 para direita (sentido adotado como positivo).

Situação II

Você deve entender essa situação pensando, a partir das informações dadas no enunciado, que é a mesma explosão que está acontecendo, porém "agora" o sistema se move com velocidade v para esquerda.

Com esse entendimento as implicações são as seguintes:

1. Como a explosão não se altera, a partícula m/3 sempre ganhará a mesma quantidade de movimento, a qual é para a direita (segundo o enunciado) e lhe fornece uma velocidade v1para a direita.

2. Desse modo a partícula, com massa m/3, terá velocidade resultante (v1') como sendo a soma da velocidade inicial -v mais a velocidade v1 que ela ganha na explosão.

Então, se o módulo de v1 for maior que o de v a partícula terá velocidade resultante de módulo |v1 - v| para a direita.

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