Questão 8

ITA 2001

Matemática

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sejam A e B matrizes n × n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:

(I) AB + BA^t é simétrica.

(II) (A + A^t + B) é simétrica.

(III) ABA^t é simétrica.

temos que:

apenas (I) é verdadeira.

apenas (II) é verdadeira.

apenas (III) é verdadeira.

apenas (I) e (III) são verdadeiras.

todas as afirmações são verdadeiras.

Gabarito:

todas as afirmações são verdadeiras.

Resolução:

$\\ ext{Como } B ext{ é simétrica, tem-se que: } B^t=B\\ (I);(AB+BA^t)^t=(AB)^t+(BA^t)^t=B^tA^t+AB^t=BA^t+AB;; herefore;;AB+BA^t ext{ é simétrica;} \\ (II);(A+A^t+B)^t=A^t+A+B^t=A^t+A+B;; herefore;;A+A^t+B ext{ é simétrica;} \\ (III);(ABA^t)^t=(A^t)^tB^tA^t=AB^tA^t=ABA^t;; herefore;;ABA^t ext{ é simétrica.} \\$

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