Questão 1

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 1a Fase)

Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos:

Se $x > 4$ e $y < 2$ , então $x^2 - 2y > 12$ .
Se $x > 4$ ou $y < 2$ , então $x^2 - 2y > 12$ .
Se $x^2 < 1$ e $y^2 > 2$ , então $x^2 - 2y < 0$ .

Então, destas é (são) verdadeira(s)

apenas I

apenas I e II

apenas II e III

apenas I e III

todas

Gabarito:

apenas I e III

Resolução:

I) $x>4$ e $y<2$

Colocando-se o menor valor para y ( $y=2$ , $in!!!!!/$ ao intervalo de valores possíveis para y) e o maior para x ( $x=4$ , $in!!!!!/$ ao intervalo de valores possíveis para x), temos $x^2-2y=4^2-2cdot 2=16-4=12$ , ou seja, o menor valor possível para essa expressão é 12, para valores de x e de y que não pertencem aos seus intervalos, então o conjunto sempre será maior que 12. (verdadeiro)

II) $x>4$ ou $y<2$

Nesse caso, somente uma afirmativa precisa ser verdadeira, então a expressão pode assumir valores como $x=1$ e $y=1$ , $x^2-2y=1^2-2cdot 1=-1<12$ , tornando, assim, a afirmativa falsa (falso)

III) $x^2<1$ e $y^2>2$ , pela mesma justificativa da afirmativa I, temos que o maior valor possível para a expressão $x^2-2y$ será $1^2-2sqrt{2}=1-2sqrt{2}$ que é aproximadamente -1,8, para valores que não respeitam os intervalos de x e de y, ou seja, a expressão será sempre menor que zero. (verdadeiro)

V - F - V

Alternativa correta é Letra D.

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