Questão 70

Gabarito:

48

Resolução:

O que queremos é saber, dos divisores de 17640, quantos são divisíveis por 3.

Vamos primeiramente fazer a fatoração de 17640:

17640 / 2 = 8820, 8820 /2 = 4410, 4410 / 2 = 2205, 2205 / 3 = 735, 735 / 3 = 245, 245 / 5 = 49, 49 / 7 = 7 e 7 / 7 = 1.

Então, a fatoração é 17640 = 2³ . 3² . 5 . 7².

Então, os divisores de 17640 são os números obtidos da multiplicação de cada um dos fatores acima, por exemplo, com os fatores 2 e 7 fazemos 2.7 = 14, logo, 14 é divisor de 17640 ou se fizermos 2.5.7² = 10.49 = 490, então 490 é divisor de 17640 e assim vai.

O segredo aqui para obtermos todos esses divisores que são divisíveis por 3 é fazer com que o 3 seja um dos fatores que precisamos pegar para formar esses números. Por exemplo, se pegarmos o 3 e o 5 obtemos 3.5 = 15, então 15 é divisor de 17640 e, como possui 3 como um dos seus fatores primos, é também divisível por 3.

Logo, os números que queremos são os números formados pelas combinações dos fatores 2³, 3², 5 e 7² de 17640 que possuem sempre ou 3 ou 3² = 9 como sendo um dos fatores.

Outra forma de pensar nesse problema seria pegar o número total de divisores que 17640 possui e subtrair deste número o número de divisores que não possuem 3 como fator. Fazendo isto nós estamos excluindo, dentre todos os divisores de 17640, aqueles que não são divisíveis por 3, obtendo, portanto, o número que queremos.

Como sabemos, para descobrirmos o número de divisores de 17640, nós só precisamos fazer o produto de cada expoente dos fatores primos que fatoram 17640 somados com 1:

O expoente de 2 é 3, logo, (3 + 1). O expoente de 3 é 2, logo, (2 + 1). O expoente de 5 é 1, logo, (1 + 1). O expoente de 7 é 2, logo, (2 + 1) =>

=> (3 + 1).(2 + 1).(1 + 1).(2 + 1) = 4.3.2.3 = 8.9 = 72 divisores de 17640.

Já os números divisores de 17640 que não são divisíveis por 3 são aqueles que não possuem o 3² entre seus fatores que podem ser 2³, 5 e 7². Logo, podemos imaginar o número x = 2³ . 5 . 7² e calcular o número de divisores que esse número possui para obtermos o número de divisores de 17640 não divisíveis por 3. Mas por quê? Bom, se calcularmos o número de divisores de x, estamos calculando a quantidade de números que podemos formar com os fatores 2³, 5 e 7² que são todos os fatores de 17640 que não são 3².

Logo: (3 + 1).(1 + 1).(2 + 1) = 4.2.3 = 24. Logo, dos 72 divisores de 17640, 24 não são divisíveis por 3.

Assim, 72 - 24 = 48 é o número de divisores de 17640 que são divisíveis por 3.

Esta resposta nos aponta para a Letra C.

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Resposta 2:

  Qtde. de divisores 

Teremos que eliminar os divisores gerados pelos outros fatores primos:

Quantidade desses divisores

Portanto, o número de divisores positivos de  que são divisíveis por , são: