Questão 30

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 2 FASE) Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento 2R . Determine, em função de R, a expressão do volume do tetraedro circunscrito às quatro esferas.

Gabarito:

Resolução:

Pegando uma das faces do tetraedro maior e desenhando os pontos de tangencia teremos :

A, B e C são os pontos de tangencia das esferas na face do tetraedro maior. O triângulo ABC que aparece na imagem é a projeção da face, do tetraedro menor, que é paralela à face do tetraedro maior que está representada.

Lembrando que a fómula do volume de um tetraedro é dada por:

$V=frac{a^3sqrt{2}}{12}$ , onde a é a aresta do tetraedro, tudo que temos que fazer é achar a medida da aresta A'B' e jogar na fórmula do volume.

O valor AO, no desenho acima vale :

$AO= frac{2Rsqrt{3}}{3}$ , que calculamos usando relações conhecidas no triângulo equilátero ABC. Usando a mesma relaçã opara o triângulo A'B'C', que tem aresta a, temos:

$AO= frac{a sqrt{3}}{3}$ , mas A'O= AO+AA'. Vamos achar então a medida do seguimento AA', que coloquei em azul, mas olhando para o desenho em 3 dimensões:

Veja na figura acima que o segmento formado pelo vértice do tetraedro menor menor até a projeção do ponto A sobre a face do tetraedro maior deve ser igual ao raio da esfera. Então o triângulo desenhado acima, com ângulo alfa bem conhecido (aquele famoso ângulo formado em todo tetraedro pela altura do tetraedro, apótema da base e altura da face) tem o segmento em azul (AA') que procuramos através da relação:

$AA= frac{R}{tg(alpha )}$ , e lembrando que $tg(alpha )=frac{1}{2sqrt{2}}$ , teremos então que :

$AA=2sqrt{2}R$ , portanto:

$AO= AO+AA=frac{2R sqrt{3}}{3}+2sqrt{2}R=frac{a sqrt{3}}{3}$ . Isolando o termo a da última igualdade, temos:

$a=2R(1+sqrt{6})$ , que é a medida da aresta do nosso tetraedro maior.

Jogando na fórmula do volume do tetraedro teremos:

$V=frac{2sqrt{2}R^3 (1+sqrt{6})^3}{3}$

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