Questão 2

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 1a fase)

Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo $left[ -frac{pi}{2}, frac{pi}{2} ight ]$ e $left[ 0, pi ight ]$ respectivamente. Com respeito à função $f: left[-1,1 ight ] ightarrow left [-frac{pi}{2},frac{3pi}{2} ight]$ , f(x) = arcsen x + arccos x, temos que:

é não-crescente e ímpar.

f não é par nem ímpar.

f é sobrejetora.

f é injetora.

f é constante.

Gabarito:

f é constante.

Resolução:

Sendo f a função tal que f(x) = arcsen x + arccos x, temos que: arcsen(x)=a e arccos(x)=b. Isso implica que sen(a)=x e cos(b)=x.

Queremos f(x) = a+b tal que a e b são ângulos que o seno de um é igual o cosseno de outro e nenhum pertene ao terceiro quadrante (pelas definições dadas no enunciado). Sabemos que isso acontece se e somente se tais âgulos são complementares. Portanto:

$a+b= frac{pi}{2} ightarrow f(x)= frac{pi}{2}$ . Portanto, f(x) é constante.

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