Questão 76

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 1a fase)

A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto

{(x, y) ∈ IR²: 3x² + 2y² + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a:

Gabarito:

Resolução:

$3x^2 + 2y^2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0$

1) Para os pontos no eixo x: y=0

$3x^2 - 9x + 6 = 0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-9 ight)pm sqrt{left(-9 ight)^2-4cdot :3cdot :6}}{2cdot :3}$

$x_1=2,:x_2=1$

Logo, os pontos serão:

(2, 0) e (1, 0)

2) Para os pontos no eixo y: x=0

$2y^2 - 8y + 6 = 0$

$y_{1,:2}=frac{-left(-8 ight)pm sqrt{left(-8 ight)^2-4cdot :2cdot :6}}{2cdot :2}$

$y_1=3,:y_2=1$

Logo, os pontos serão:

(0, 3) e (0, 1)

3) Com isso, a área procurada é:

4) Calculando a área:

$2A = |egin{vmatrix} 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1\ 0& 3& 1 end{vmatrix} + egin{vmatrix} 1 & 0 &1 \ 2 & 0 & 1\ 0& 3& 1 end{vmatrix}|$

$2A =2+3$

$A =frac{5}{2}$

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