Questão 2

Gabarito:

n + 1   

Resolução:

RESOLUÇÃO 1(COM EXEMPLO):

P(U) representa o conjunto dos partes de U, e se U possui n elementos o número de elementos de n[P(U)] = 2ⁿ. Esse exercício é um pouco complicadinho, por isso, vamos primeiro tentar compreendê-lo através de um exemplo numérico. 

Vamos SUPOR que U = {1, 2, 3, 4}, nesse exemplo o número de elementos de U é igual a 4, portanto, o número de elemento de P(U) será igual a 2⁴ = 16:

P(U) = {{Ø}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1, 4}, {2,3} ,{2, 4}, {3,4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} 

 

Através dessa frase do enunciado "Se A, B ∈ S, então A ⊂ B ou B ⊂A", concluimos o seguinte: se pegarmos um conjunto A de P(U) que contenha um único elemento ele deve pertencer a um conjunto B, também pertencente a P(U), ou seja, se B também tiver um único elemento para que A esteja contido em B é necessário que A = B.

Exemplificando temos: 

Se A = {1}, para que A ⊂ B, B deve ser igual a A, ou seja, B = {1}. Com essa análise, concluimos que só podemos pegar um único conjunto com 1 elemento de P(U), um único conjunto com 2 elementos de P(U), e assim por diante. No caso do nosso exemplo: P(U) = {{Ø}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1, 4}, {2,3} ,{2, 4}, {3,4}, {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}. Então, uma possibilidade para S = {{Ø}, {1}, {1,2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}, o número de elementos de S é:

S = 5 = 4 +1

No exercício n(U) = n, então S = n + 1.

RESOLUÇÃO 2:

do enunciado, temos que, se um conjunto A ou B pertence a S, então necessariamente temos que A está contido em B ou B contido em A.

Seja U um conjunto de n elementos x_i. Temos que um possível subconjunto S é:

S = { {x₁}; {x₁;x₂}; Ø }

Note que se pegarmos quaisquer dois elementos de S, temos que um deles está contido no outro necessariamente.

Desse modo, o conjunto máximo de S deve ser:

S = { Ø ; {x₁}; {x₁, x₂}; {x₁, x₂, x₃}; {x₁, x₂, x₃, x₄}; ... ; {x₁, x₂, x₃, x₄, ... , x_n} } 

Logo S terá n + 1 elementos (contando com o vazio Ø)

É uma questão de pura interpretação!

 

 

Qualquer dúvida ou sugestão, pessoal, comentem!!