Questão 20

ITA 2008

Física

(ITA - 2008 - 1a Fase) Certa quantidade de oxigênio (considerado aqui como gás ideal) ocupa um volume v_i a uma temperatura T_i e pressão p_i. A seguir, toda essa quantidade é comprimida, por meio de um processo adiabático e quase estático, tendo reduzido o seu volume para v_f = v_i/2. Indique o valor do trabalho realizado sobre esse gás.

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

DADOS IMPORTANTES: temos um processo adiabático. E temos o gás oxigênio, que é um gás diatômico $O_2$

Vamos lá, sabendo que o processo é adiabático, a troca de calor com o ambiente é nula, então temos que Q = 0.

Agora, temos da 1º lei da termodinâmica, que: $Delta U = Q - W$

$Delta U = - W$

$Delta U = frac {5}{2} nR Delta T$ $(1)$

Agora vamos fazer uma análise usando as equação dos gases

$P_oV_o = nR T_o$ $(2)$

$P_fV_f = nR T_f$ $(3)$

No enunciado, diz que $V_f = frac {V_o}{2}$ , então:

$P_f frac {V_o}{2} = nR T_f$

Mas temos que o gás está passando por um processo adiabático, então vamos usar a equação de um gás ideal que está passando por um processo adiabático:

$PV^{gamma} = constante$ , como é uma constante, podemos igualar as equações de PV inicial e final.

$P_oV_o^{gamma} = P_f (frac {V_o}{2})^{gamma}$

Onde $gamma =$ coeficiente de expansão adiabática e é equivalente a $frac {7}{5}$ para um gás diatômico.

$P_o cdot 2^{gamma} = P_f$

$P_o cdot 2^{frac {7}{5}} = P_f$

$P_o cdot 2^{1,4} = P_f$

Agora, vamos calcular a variação de temperatura do sistema, subtraindo a equação $(2)$ da $(3)$

$P_fV_f - P_oV_o = nR T_f - nR T_o$

$P_fV_f - P_oV_o = nR (T_f - T_o)$

$frac {P_fV_f - P_oV_o }{nR}= (T_f - T_o)$

$frac {1 }{nR} cdot (P_fV_f - P_oV_o) = (T_f - T_o)$

Substituindo os valores de pressão e volume final que encontramos acima, temos:

$frac {1 }{nR} cdot (P_o cdot 2^{1,4} cdot frac {V_o}{2} - P_oV_o) = (T_f - T_o)$

Vamos isolar o $P_oV_o$ da equação

$frac {P_oV_o }{nR} cdot ( 2^{1,4} cdot frac {1}{2} - 1) = (T_f - T_o)$

$frac {P_oV_o }{nR} cdot ( 2^{0,4} - 1) = (T_f - T_o)$

$Delta T = frac {P_oV_o }{nR} cdot ( 2^{0,4} - 1)$

Agora, vamos voltar aquela primeira equação $(1)$

$Delta U = frac {5}{2} nR Delta T$

$Delta U = frac {5}{2} nR cdot (frac {P_oV_o }{nR} cdot ( 2^{0,4} - 1))$

$Delta U = frac {5}{2} ( {P_oV_o } cdot ( 2^{0,4} - 1))$

$Delta U = - W$

$- W = frac {5}{2} ( {P_oV_o } cdot ( 2^{0,4} - 1))$

$W = - frac {5}{2} ( {P_oV_o } cdot ( 2^{0,4} - 1))$

O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás.

Então a nossa resposta é

$W = frac {5}{2} ( {P_oV_o }) cdot ( 2^{0,4} - 1)$ , realizado sobre o gás.

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