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Questão 1

ITA 2008
Física

(ITA - 2008 - 2 FASE) Considere um condutor esférico A de 20 cm de diâmetro colocado sobre um pedestal fixo e isolante. Uma esfera condutora B de 0,5 mm de diâmetro, do mesmo material da esfera A, é suspensa por um fio fixo e isolante. Em posição oposta à esfera A é colocada uma campainha C ligada à terra, conforme mostra a figura. O condutor A é então carregado a um potencial eletrostático Vo, de forma a atrair a esfera B. As duas esferas entram em contacto devido à indução eletrostática e, após a transferência de carga, a esfera B é repelida, chocando-se com a campainha C, onde a carga adquirida é escoada para a terra. Após 20 contatos com a campainha, verifica-se que o potencial da esfera A é de 10000 V. Determine o potencial inicial da esfera A.

Considere (1+x)^ncong 1+nx se left | x ight |<1

Gabarito:

Resolução:

A ideia dessa questão é tentar encontrar alguma relação entre os potenciais após cada contato e, por meio de uma indução infinita, equacionar uma fórmula que nos leve até a resposta.

Analisar-se-à o primeiro contato. Na situação inicial a esfera A tem um potencial tal que:

U_{0} = Kfrac{Q}{R} Rightarrow Q = frac{R U_{0}}{K}

Assuma como Q_{1} a carga da esfera A após o contato e como q_{1} a carga da esfera B após o contato. Além disso, se após a eletrização por contato as esferas entram em equilíbrio eletroestático, existirá um novo potencial elétrico nas esferas A e B, igual, chamaremos esse potencial de U_{1}.

 Pelo princípio de conservação de cargas: Q = Q_{1} + q_{1}, ou seja:

Q = frac{R}{K} cdot U_{1} + frac{r}{K} U_{1}

U_{1} = frac{KQ}{R+r}

Agora vamos realizar o segundo contato, isto é, teremos a formação de um potencial U_{2} após o contato e novas cargas em A e B, as quais chamaremos de Q_{2} e q_{2}, respectivamente. Além disso, lembrar-se-à que a carga inicial e o potencial antes do contato agora são U_{1} e Q_{1}, pois os contatos são sucessivos.

Pelo princípio:  Q_{1} = Q_{2} + q_{2}

Q_{1} = frac{R}{K} U_{2} + frac{r}{K} U_{2}

frac{R}{K} U_{1}= frac{R}{K} U_{2} + frac{r}{K} U_{2}

U_{2} = frac{R cdot U_{1}}{(R+r)}

Substituindo U1 :

U_{2} = frac{R cdotfrac{KQ}{R+r}}{(R+r)}

U_{2} = frac{RKQ}{(R+r)^{2}}

Analogamente, após o terceiro contato teríamos:

U_{3} = frac{Rcdot U_{2}}{R+r} Rightarrow U_{3} = frac{R^{2}KQ}{(R+r)^{3}}

Ao continuarmos a sequência, perceber-se-à que a equação geral que rege essa relação é dada por:

U_{n} = frac{R^{n-1}KQ}{(R+r)^{n}}

Vamos simplificar algebricamente a fim de conseguir uma relação em que aparece a aproximação dada pelo comando:

U_{n} = frac{R^{(n-1)}KQ}{(1+frac{r}{R})^{n}cdot R^{n}}

U_{n} = frac{cancel{R^{(n-1)}}KQ}{(1+frac{r}{R})^{n}cdot R^{cancel{n}}}

U_{n} = frac{KQ}{(1+frac{r}{R})^{n}cdot R}

Pela aproximação, temos que (1 + nfrac{r}{R})^{n} = 1+n cdot frac{r}{R} vem que:

U_{n} = frac{KQ}{(1+nfrac{r}{R})cdot R}

Porém frac{KQ}{R} = U_{0}:

U_{n} = frac{U_{0}}{(1+nfrac{r}{R})}

Para 20 contatos:

U_{20} = frac{U_{0}}{(1+20frac{r}{R})}

Substituindo os dados:

10000 = frac{U_{0}}{(1+20frac{0,5}{200})}

frac{U_{0}}{1,05} = 10000 Rightarrow U_{0} = 10500 V

 

 

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