Questão 3

ITA 2008

Física

(ITA - 2008 - 2 FASE) A figura mostra uma bola de massa m que cai com velocidade $vec{v_1}$ sobre a superfície de um suporte rígido, inclinada de um ângulo θ em relação ao plano horizontal. Sendo e o coeficiente de restituição para esse impacto, calcule o módulo da velocidade $vec{v_2}$ com que a bola é ricocheteada, em função de v₁, θ e e. Calcule também o ângulo α .

Gabarito:

Resolução:

Na direção perpendicular ao planos temos uma velocidade de aproximação igual à componente de v₁na direção normal:

$v_{ap} = v_{1}cos heta$

$v_{af} = v_{2}cos(90^{circ}-alpha) = v_{2} senalpha$

Utilizando a definição de coeficiente de restituição:

$e = frac{v_{af}}{v_{ap}} = frac{v_{2}senalpha}{v_{1}cos heta}$

Isolando $sen alpha$ :

$sen alpha = frac{ev_{1}cos heta}{v_{2}}$

Na direção paralela ao plano:

$v_{1} sen heta = v_{2}cosalpha$

$cosalpha = frac{v_{1}senalpha}{v_{2}}$

Podemos partir da equação fundamental da trigonometria pra encontrar uma relação entre seno e cossendo de $alpha$ :

$sen^{2}alpha + cos^{2}alpha = 1$

$frac{e^{2}v_{1}^{2}cos^{2} heta}{v_{2}^{2}} + frac{v_{1}^{2}sen^{2} heta}{v_{2}^{2}} =1$

$v_{2}^{2} = v_{1}^{2} (e^{2}cos^{2} heta + sen^{2} heta)$

$oxed{v_{2} = v_{1} sqrt{(e^{2}cos^{2} heta + sen^{2} heta)}}$

A seguinte relação é válida:

$frac{senalpha}{cosalpha} = tgalpha = frac{ev_{1}cos heta}{v_{2}} cdot frac{v_{2}^{2}}{v_{1}sen heta}$

$tgalpha = e cdot cotg( heta)$

$oxed {alpha = arctg[e cdot cotg( heta)]}$

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