Questão 5

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a uma mola de constante elástica k, sendo barrado à frente por um anteparo. Com a mola no seu comprimento natural, o anteparo, de alguma forma, inicia seu movimento de descida com uma aceleração constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo mantém contato com o corpo, dele se separando somente após um certo tempo. Desconsiderando quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação máxima do comprimento da mola é dada por

$[mgsenalpha + msqrt{a(2gsenalpha + a) } ]/k$

$[mgcosalpha + msqrt{a(2gcosalpha + a) } ]/k$

$[mgsenalpha + msqrt{a(2gsenalpha - a) } ]/k$

$m(gsen(alpha -a)/k$

$mgsen(alpha)/k$

Gabarito:

$[mgsenalpha + msqrt{a(2gsenalpha - a) } ]/k$

Resolução:

O anteparo perde contato com m quando a aceleração de m devido à ação do peso e da mola se iguala a "a". Nesse momento, a deformação da mola é x:

$P senalpha - F_{el} = ma$

$mgsenalpha - ma = kx$

$x = frac{m}{k} (senalpha - a)$

A velocidade v quando o anteparo se descola de m é dada por:

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2xa$

$v^{2} = 2a frac{m}{k}(gsenalpha - a)$

A deformação máxima é dada quando m para. Conservando a energia, temos que:

$frac{mv^{2}}{2} + frac{kx^{2}}{2} + mgx senalpha = frac{k}{2} (x+x)^{2}$

$frac{mv^{2}}{2} + mgx senalpha = kx x + frac{kx^{2}}{2}$

$kx^{2} + 2(kx - mgsenalpha)x - mv^{2} = 0$

Fazendo as substituições:

$kx^{2} + 2(mgsenalpha - ma - mgsenalpha)x - 2afrac{m^{2}}{k}(gsenalpha - a) = 0$

Fazendo Bhaskara:

$x = [am + msqrt{a(gsenalpha - a)}] cdot frac{1}{k}$

Fazendo x + x':

$x + x = [am + msqrt{a(gsenalpha - a)}] cdot frac{1}{k} +frac{m}{k} (senalpha - a)$

Chegamos na alternativa C.

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