Questão 6

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Um quadro quadrado de lado e massa m, feito de um material de coeficiente de dilatação superficial β, é pendurado no pino O por uma corda inextensível, de massa desprezível, com as extremidades fixadas no meio das arestas laterais do quadro, conforme a figura. A força de tração máxima que a corda pode suportar é F. A seguir, o quadro é submetido a uma variação de temperatura ΔT, dilatando. Considerando desprezível a variação no comprimento da corda devida à dilatação, podemos afirmar que o comprimento mínimo da corda para que o quadro possa ser pendurado com segurança é dado por

Gabarito:

Resolução:

Pela situação de equilíbrio inicial tem-se que:

$2Fsenalpha = mg$

$oxed {Fsenalpha = frac{mg}{2}}$

Aplicando a equação de dilatação superficial, podemos determinar:

$A= A_{0}[1+eta Delta T]$

Porém, como trata-se de uma chapa quadrada, as seguintes relações são válidas:

$A_{0} = L^{2}$

$A = L^{2} = A_{0}[1 + eta Delta T] = L^{2} [1 + eta Delta T]$

Portanto: $L = L [1 + eta Delta T]$

Agora, considerando que o comprimento do fio seja igual a d, temos o seguinte triângulo retângulo:

Isto posto:

$sen alpha = frac{mg}{2F}$

$cos alpha = frac{frac{l}{2}}{frac{d}{2}} = frac{l}{d}$

Pela equação fundamental da trigonometria:

$sen^{2} alpha + cos ^{2} alpha = 1$

$(frac{mg}{2F})^{2} + (frac{l}{d})^{2} = 1$

$(frac{l}{d})^{2} = 1 - frac{m^{2}g^{2}}{4F^{2}}$

$frac{l}{d} = frac{sqrt{4F^{2}-m^{2}g^{2}}}{2F}$

$frac{d}{l} = frac{2F}{sqrt{4F^{2}-m^{2}g^{2}}}$

$d = frac{2F}{sqrt{4F^{2}-m^{2}g^{2}}} cdot l$

$d = frac{2F}{sqrt{4F^{2}-m^{2}g^{2}}} cdot l cdot sqrt{1+eta Delta T}$

$d = 2Fl cdot sqrt{frac{1 + eta Delta T}{4F^{2}-m^{2}g^{2}}}$

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