Questão 7

ITA 2010

Física

[ITA 2010 - 1 FASE]

Considere um semicilindro de peso P e raio R sobre um plano horizontal não liso, mostrado em corte na figura. Uma barra homogênea de comprimento L e peso Q está articulada no ponto O. A barra está apoiada na superfície lisa do semicilindro, formando um ângulo α com a vertical. Quanto vale o coeficiente de atrito mínimo entre o semicilindro e o plano horizontal para que o sistema todo permaneça em equilíbrio?

μ = cos α/[cos α + 2P(2h/LQ cos(2α) – R/LQ sen α)]

μ = cos α/[cos α + P(2h/LQ sen(2α) – 2R/LQ cos α)]

μ = cos α/[sen α + 2P (2h/LQ sen (2α) – R/LQ cos α)]

μ = sen α/[sen α + 2P (2h/ LQ cos(α) – 2R/ LQ cos α)]

μ = sen α/[cos α + P(2h/LQ sen(α) – 2R/LQ cos α)]

Gabarito:

μ = cos α/[sen α + 2P (2h/LQ sen (2α) – R/LQ cos α)]

Resolução:

Vamos analisar o equilíbrio das forças:

Na vertical temos

$N_1=P+Nsen(alpha) (I)$

Na horizontal temos que para o corpo estar em equilíbrio devemos ter a seguinte relação:

$F_{at}= N.cos(alpha)$

E sabemos que pela formula da força de atrito temos que:

$F_{at}= N_1. mu$

Substituindo acima teremos:

$N_1. mu= N.cos(alpha)Rightarrow mu= frac{N.cos(alpha)}{N_1}$

Substituindo a equação (I) podemos obter:

$mu= frac{N.cos(alpha)}{N_1}Rightarrow mu=frac{N.cos(alpha)}{P+N.sen(alpha)} (II)$

Agora vamos analisar o momento do sistema (torque)

$N.d_{OA}= Q.sen(alpha) frac{L}{2}Rightarrow N= frac{Q.sen(alpha)L}{2.d_{OA}} (III)$

Veja que foi preciso usar o Q.sen(α) porque o torque deve estar perpendicular à distância, por isso precisamos usar a componente do peso, agora vamos calcular a distância d_OA

Para isso vamos pensar na distância do solo até o B que chamaremos de d_B essa distância, olhando pelo semi circulo podemos definir como:

$sen(alpha)=frac{d_B}{R}Rightarrow d_B=R.sen(alpha)$

e a distância d_OBvale_:

e finalmente para calcluarmos a distância d_OA como:

$cos(alpha)=frac{d_{OB}}{d_{OA}}Rightarrow d_{OA}= frac{d_{OB}}{cos(alpha)}Rightarrow d_{OA}= frac{h-R.sen(alpha)}{cos(alpha)}$

voltando na equação (III) temos:

$N= frac{Q.sen(alpha)L}{2. frac{h-R.sen(alpha)}{cos(alpha)}}Rightarrow N= frac{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))} (IV)$

Substituindo a (IV) na (II) temos:

$\ mu=frac{N.cos(alpha)}{P+N.sen(alpha)}Rightarrow mu =frac{frac{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))}.cos(alpha)}{P+frac{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))}.sen(alpha)} \ \ \ mu= frac{frac{Q.sen(alpha)L. cos^2(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))}}{P+frac{Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))}}= frac{Q.sen(alpha)L. cos^2(alpha)}{P(2.(h-R.sen(alpha)))+Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}$

Perceba que nesse último passo eu tirei o mdc entre o $P+frac{Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}{2.(h-R.sen(alpha))}$ e cortei o $2.(h-R.sen(alpha))$ que tinha no numerador e no denominador da nossa equação, com isso temos:

$mu=frac{Q.sen(alpha)L. cos^2(alpha)}{P(2.(h-R.sen(alpha)))+Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}Rightarrow frac{Q.sen(alpha)L. cos^2(alpha)}{2P.h-PR.sen(alpha)+Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}$

Agora divide em cima e em baixo por $Q.sen(alpha)L. cos(alpha)$ assim teremos:

$frac{ cos(alpha)}{frac{2P.h}{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}-frac{2PR.sen(alpha)}{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}+frac{Q.sen^2(alpha)L. cos(alpha)}{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}}Rightarrow frac{ cos(alpha)}{frac{2P.h}{Q.sen(alpha)L. cos(alpha)}-frac{2PR}{Q.L. cos(alpha)}+sen(alpha)}$

COlocando o 2P em evidencia na parte do denominador e lembrando da propriedade que $sen(alpha)cos(alpha)=frac{sen(2alpha)}{2}$ temos que:

$mu = frac{ cos(alpha)}{ sen(alpha)+2P(frac{2h}{QL.sen(2alpha)}-frac{R.}{Q.L. cos(alpha)})}$

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